Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62937 / 79130
↖ ↑ ↗
← S 34.944488°
W  7.138367°		 ← 250.31 m → S 34.944488°
W  7.135620°		 →
↑
250.38 m
↓
↑
250.38 m
↓
S 34.946740°
W  7.138367°		 ← 250.30 m →
62 671 m²		 S 34.946740°
W  7.135620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480175018310547 y=0.603717803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480175018310547 × 217)
    floor (0.480175018310547 × 131072)
    floor (62937.5)     		tx = 62937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603717803955078 × 217)
    floor (0.603717803955078 × 131072)
    floor (79130.5)     		ty = 79130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62937 / 79130 ti = "17/62937/79130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62937/79130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62937 ÷ 217
    62937 ÷ 131072     		x = 0.480171203613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79130 ÷ 217
    79130 ÷ 131072     		y = 0.603713989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480171203613281 × 2 - 1) × π
    -0.0396575927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12458800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603713989257812 × 2 - 1) × π
    -0.207427978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.651654213435043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12458800} λ = -0.12458800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651654213435043))-π/2
    2×atan(0.5211829154985)-π/2
    2×0.480449977349533-π/2
    0.960899954699067-1.57079632675     		φ = -0.60989637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12458800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.138367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60989637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.944488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62937 KachelY 79130 -0.12458800 -0.60989637 -7.138367 -34.944488
    Oben rechts KachelX + 1 62938 KachelY 79130 -0.12454007 -0.60989637 -7.135620 -34.944488
    Unten links KachelX 62937 KachelY + 1 79131 -0.12458800 -0.60993567 -7.138367 -34.946740
    Unten rechts KachelX + 1 62938 KachelY + 1 79131 -0.12454007 -0.60993567 -7.135620 -34.946740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60989637--0.60993567) × R
    3.93000000000754e-05 × 6371000     		dl = 250.38030000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60989637--0.60993567) × R
    3.93000000000754e-05 × 6371000     		dr = 250.38030000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12458800--0.12454007) × cos(-0.60989637) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.819707379699091 × 6371000     		do = 250.307509470903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12458800--0.12454007) × cos(-0.60993567) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.819684868713168 × 6371000     		du = 250.300635470545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60989637)-sin(-0.60993567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819707379699091-0.819684868713168)×R²
    abs(-0.12454007--0.12458800)×2.25109859234296e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.25109859234296e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.25109859234296e-05×40589641000000     		ar = 62671.2087646068m²