Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62930 / 29554
↖ ↑ ↗
← N 69.792238°
W  7.157593°		 ← 105.50 m → N 69.792238°
W  7.154846°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
N 69.791289°
W  7.157593°		 ← 105.51 m →
11 131 m²		 N 69.791289°
W  7.154846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480121612548828 y=0.225482940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480121612548828 × 217)
    floor (0.480121612548828 × 131072)
    floor (62930.5)     		tx = 62930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225482940673828 × 217)
    floor (0.225482940673828 × 131072)
    floor (29554.5)     		ty = 29554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62930 / 29554 ti = "17/62930/29554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62930/29554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62930 ÷ 217
    62930 ÷ 131072     		x = 0.480117797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29554 ÷ 217
    29554 ÷ 131072     		y = 0.225479125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480117797851562 × 2 - 1) × π
    -0.039764404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12492356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225479125976562 × 2 - 1) × π
    0.549041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72486552212886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12492356} λ = -0.12492356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72486552212886))-π/2
    2×atan(5.61176632056033)-π/2
    2×1.39445033877683-π/2
    2.78890067755366-1.57079632675     		φ = 1.21810435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12492356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.157593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21810435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.792238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62930 KachelY 29554 -0.12492356 1.21810435 -7.157593 69.792238
    Oben rechts KachelX + 1 62931 KachelY 29554 -0.12487562 1.21810435 -7.154846 69.792238
    Unten links KachelX 62930 KachelY + 1 29555 -0.12492356 1.21808779 -7.157593 69.791289
    Unten rechts KachelX + 1 62931 KachelY + 1 29555 -0.12487562 1.21808779 -7.154846 69.791289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21810435-1.21808779) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21810435-1.21808779) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12492356--0.12487562) × cos(1.21810435) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.345425331501257 × 6371000     		do = 105.501787488509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12492356--0.12487562) × cos(1.21808779) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.345440872123582 × 6371000     		du = 105.506533994582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21810435)-sin(1.21808779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345425331501257-0.345440872123582)×R²
    abs(-0.12487562--0.12492356)×1.55406223257826e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55406223257826e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55406223257826e-05×40589641000000     		ar = 11131.0856539726m²