Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62929 / 31345
↖ ↑ ↗
← N 68.022994°
W  7.160340°		 ← 114.30 m → N 68.022994°
W  7.157593°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
N 68.021966°
W  7.160340°		 ← 114.31 m →
13 064 m²		 N 68.021966°
W  7.157593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480113983154297 y=0.239147186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480113983154297 × 217)
    floor (0.480113983154297 × 131072)
    floor (62929.5)     		tx = 62929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239147186279297 × 217)
    floor (0.239147186279297 × 131072)
    floor (31345.5)     		ty = 31345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62929 / 31345 ti = "17/62929/31345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62929/31345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62929 ÷ 217
    62929 ÷ 131072     		x = 0.480110168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31345 ÷ 217
    31345 ÷ 131072     		y = 0.239143371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480110168457031 × 2 - 1) × π
    -0.0397796630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12497150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239143371582031 × 2 - 1) × π
    0.521713256835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.63901053490934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12497150} λ = -0.12497150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63901053490934))-π/2
    2×atan(5.15007117469535)-π/2
    2×1.37901077082863-π/2
    2.75802154165725-1.57079632675     		φ = 1.18722521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12497150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.160340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18722521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.022994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62929 KachelY 31345 -0.12497150 1.18722521 -7.160340 68.022994
    Oben rechts KachelX + 1 62930 KachelY 31345 -0.12492356 1.18722521 -7.157593 68.022994
    Unten links KachelX 62929 KachelY + 1 31346 -0.12497150 1.18720727 -7.160340 68.021966
    Unten rechts KachelX + 1 62930 KachelY + 1 31346 -0.12492356 1.18720727 -7.157593 68.021966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18722521-1.18720727) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18722521-1.18720727) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12497150--0.12492356) × cos(1.18722521) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.374234467092338 × 6371000     		do = 114.300839045174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12497150--0.12492356) × cos(1.18720727) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.374251103406165 × 6371000     		du = 114.305920203636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18722521)-sin(1.18720727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374234467092338-0.374251103406165)×R²
    abs(-0.12492356--0.12497150)×1.66363138268122e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.66363138268122e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.66363138268122e-05×40589641000000     		ar = 13064.3893589265m²