Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62918 / 27097
↖ ↑ ↗
← N 71.998521°
W  7.190552°		 ← 94.37 m → N 71.998521°
W  7.187805°		 →
↑
94.35 m
↓
↑
94.35 m
↓
N 71.997672°
W  7.190552°		 ← 94.37 m →
8 904 m²		 N 71.997672°
W  7.187805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480030059814453 y=0.206737518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480030059814453 × 217)
    floor (0.480030059814453 × 131072)
    floor (62918.5)     		tx = 62918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206737518310547 × 217)
    floor (0.206737518310547 × 131072)
    floor (27097.5)     		ty = 27097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62918 / 27097 ti = "17/62918/27097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62918/27097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62918 ÷ 217
    62918 ÷ 131072     		x = 0.480026245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27097 ÷ 217
    27097 ÷ 131072     		y = 0.206733703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480026245117188 × 2 - 1) × π
    -0.039947509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12549880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206733703613281 × 2 - 1) × π
    0.586532592773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.84264648449534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12549880} λ = -0.12549880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84264648449534))-π/2
    2×atan(6.31322402147317)-π/2
    2×1.41370378438577-π/2
    2.82740756877154-1.57079632675     		φ = 1.25661124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12549880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.190552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25661124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.998521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62918 KachelY 27097 -0.12549880 1.25661124 -7.190552 71.998521
    Oben rechts KachelX + 1 62919 KachelY 27097 -0.12545087 1.25661124 -7.187805 71.998521
    Unten links KachelX 62918 KachelY + 1 27098 -0.12549880 1.25659643 -7.190552 71.997672
    Unten rechts KachelX + 1 62919 KachelY + 1 27098 -0.12545087 1.25659643 -7.187805 71.997672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25661124-1.25659643) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dl = 94.3545099994949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25661124-1.25659643) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dr = 94.3545099994949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12549880--0.12545087) × cos(1.25661124) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.309041551916816 × 6371000     		do = 94.3695556476724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12549880--0.12545087) × cos(1.25659643) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.309055636911752 × 6371000     		du = 94.3738566703187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25661124)-sin(1.25659643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309041551916816-0.309055636911752)×R²
    abs(-0.12545087--0.12549880)×1.40849949361588e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.40849949361588e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.40849949361588e-05×40589641000000     		ar = 8904.39609246538m²