Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62917 / 26563
↖ ↑ ↗
← N 72.446307°
W  7.193298°		 ← 92.12 m → N 72.446307°
W  7.190552°		 →
↑
92.12 m
↓
↑
92.12 m
↓
N 72.445478°
W  7.193298°		 ← 92.12 m →
8 486 m²		 N 72.445478°
W  7.190552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480022430419922 y=0.202663421630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480022430419922 × 217)
    floor (0.480022430419922 × 131072)
    floor (62917.5)     		tx = 62917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202663421630859 × 217)
    floor (0.202663421630859 × 131072)
    floor (26563.5)     		ty = 26563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62917 / 26563 ti = "17/62917/26563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62917/26563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62917 ÷ 217
    62917 ÷ 131072     		x = 0.480018615722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26563 ÷ 217
    26563 ÷ 131072     		y = 0.202659606933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480018615722656 × 2 - 1) × π
    -0.0399627685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12554674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202659606933594 × 2 - 1) × π
    0.594680786132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.86824478889245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12554674} λ = -0.12554674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86824478889245))-π/2
    2×atan(6.47691805799427)-π/2
    2×1.41761145414742-π/2
    2.83522290829485-1.57079632675     		φ = 1.26442658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12554674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.193298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26442658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.446307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62917 KachelY 26563 -0.12554674 1.26442658 -7.193298 72.446307
    Oben rechts KachelX + 1 62918 KachelY 26563 -0.12549880 1.26442658 -7.190552 72.446307
    Unten links KachelX 62917 KachelY + 1 26564 -0.12554674 1.26441212 -7.193298 72.445478
    Unten rechts KachelX + 1 62918 KachelY + 1 26564 -0.12549880 1.26441212 -7.190552 72.445478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26442658-1.26441212) × R
    1.44600000000494e-05 × 6371000     		dl = 92.1246600003149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26442658-1.26441212) × R
    1.44600000000494e-05 × 6371000     		dr = 92.1246600003149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12554674--0.12549880) × cos(1.26442658) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.301599421900883 × 6371000     		do = 92.1162266176424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12554674--0.12549880) × cos(1.26441212) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.301613208535581 × 6371000     		du = 92.1204374107469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26442658)-sin(1.26441212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301599421900883-0.301613208535581)×R²
    abs(-0.12549880--0.12554674)×1.37866346973103e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.37866346973103e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37866346973103e-05×40589641000000     		ar = 8486.37001680234m²