Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62915 / 38803
↖ ↑ ↗
← N 58.968420°
W  7.198791°		 ← 157.42 m → N 58.968420°
W  7.196045°		 →
↑
157.43 m
↓
↑
157.43 m
↓
N 58.967004°
W  7.198791°		 ← 157.42 m →
24 782 m²		 N 58.967004°
W  7.196045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480007171630859 y=0.296047210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480007171630859 × 217)
    floor (0.480007171630859 × 131072)
    floor (62915.5)     		tx = 62915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296047210693359 × 217)
    floor (0.296047210693359 × 131072)
    floor (38803.5)     		ty = 38803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62915 / 38803 ti = "17/62915/38803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62915/38803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62915 ÷ 217
    62915 ÷ 131072     		x = 0.480003356933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38803 ÷ 217
    38803 ÷ 131072     		y = 0.296043395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480003356933594 × 2 - 1) × π
    -0.0399932861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12564261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296043395996094 × 2 - 1) × π
    0.407913208007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.28149713754296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12564261} λ = -0.12564261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28149713754296))-π/2
    2×atan(3.60202842273483)-π/2
    2×1.29999470297723-π/2
    2.59998940595447-1.57079632675     		φ = 1.02919308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12564261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.198791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02919308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.968420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62915 KachelY 38803 -0.12564261 1.02919308 -7.198791 58.968420
    Oben rechts KachelX + 1 62916 KachelY 38803 -0.12559468 1.02919308 -7.196045 58.968420
    Unten links KachelX 62915 KachelY + 1 38804 -0.12564261 1.02916837 -7.198791 58.967004
    Unten rechts KachelX + 1 62916 KachelY + 1 38804 -0.12559468 1.02916837 -7.196045 58.967004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02919308-1.02916837) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dl = 157.42740999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02919308-1.02916837) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dr = 157.42740999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12564261--0.12559468) × cos(1.02919308) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.515510448990856 × 6371000     		do = 157.417317190064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12564261--0.12559468) × cos(1.02916837) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.51553162241963 × 6371000     		du = 157.423782751257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02919308)-sin(1.02916837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515510448990856-0.51553162241963)×R²
    abs(-0.12559468--0.12564261)×2.11734287745013e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11734287745013e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11734287745013e-05×40589641000000     		ar = 24782.3094638461m²