Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62915 / 31038
↖ ↑ ↗
← N 68.336404°
W  7.198791°		 ← 112.73 m → N 68.336404°
W  7.196045°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
N 68.335390°
W  7.198791°		 ← 112.73 m →
12 712 m²		 N 68.335390°
W  7.196045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480007171630859 y=0.236804962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480007171630859 × 217)
    floor (0.480007171630859 × 131072)
    floor (62915.5)     		tx = 62915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236804962158203 × 217)
    floor (0.236804962158203 × 131072)
    floor (31038.5)     		ty = 31038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62915 / 31038 ti = "17/62915/31038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62915/31038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62915 ÷ 217
    62915 ÷ 131072     		x = 0.480003356933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31038 ÷ 217
    31038 ÷ 131072     		y = 0.236801147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480003356933594 × 2 - 1) × π
    -0.0399932861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12564261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236801147460938 × 2 - 1) × π
    0.526397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6537271630927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12564261} λ = -0.12564261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6537271630927))-π/2
    2×atan(5.22642330220875)-π/2
    2×1.38174578662313-π/2
    2.76349157324626-1.57079632675     		φ = 1.19269525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12564261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.198791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19269525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.336404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62915 KachelY 31038 -0.12564261 1.19269525 -7.198791 68.336404
    Oben rechts KachelX + 1 62916 KachelY 31038 -0.12559468 1.19269525 -7.196045 68.336404
    Unten links KachelX 62915 KachelY + 1 31039 -0.12564261 1.19267755 -7.198791 68.335390
    Unten rechts KachelX + 1 62916 KachelY + 1 31039 -0.12559468 1.19267755 -7.196045 68.335390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19269525-1.19267755) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dl = 112.766700000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19269525-1.19267755) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dr = 112.766700000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12564261--0.12559468) × cos(1.19269525) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.36915633889395 × 6371000     		do = 112.726329032028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12564261--0.12559468) × cos(1.19267755) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.369172788637516 × 6371000     		du = 112.731352159116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19269525)-sin(1.19267755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36915633889395-0.369172788637516)×R²
    abs(-0.12559468--0.12564261)×1.64497435650723e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.64497435650723e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.64497435650723e-05×40589641000000     		ar = 12712.0593493921m²