Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62914 / 31041
↖ ↑ ↗
← N 68.333362°
W  7.201538°		 ← 112.76 m → N 68.333362°
W  7.198791°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
N 68.332348°
W  7.201538°		 ← 112.77 m →
12 709 m²		 N 68.332348°
W  7.198791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479999542236328 y=0.236827850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479999542236328 × 217)
    floor (0.479999542236328 × 131072)
    floor (62914.5)     		tx = 62914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236827850341797 × 217)
    floor (0.236827850341797 × 131072)
    floor (31041.5)     		ty = 31041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62914 / 31041 ti = "17/62914/31041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62914/31041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62914 ÷ 217
    62914 ÷ 131072     		x = 0.479995727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31041 ÷ 217
    31041 ÷ 131072     		y = 0.236824035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479995727539062 × 2 - 1) × π
    -0.040008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12569055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236824035644531 × 2 - 1) × π
    0.526351928710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.65358335239384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12569055} λ = -0.12569055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65358335239384))-π/2
    2×atan(5.22567174066371)-π/2
    2×1.38171924053342-π/2
    2.76343848106684-1.57079632675     		φ = 1.19264215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12569055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.201538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19264215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.333362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62914 KachelY 31041 -0.12569055 1.19264215 -7.201538 68.333362
    Oben rechts KachelX + 1 62915 KachelY 31041 -0.12564261 1.19264215 -7.198791 68.333362
    Unten links KachelX 62914 KachelY + 1 31042 -0.12569055 1.19262446 -7.201538 68.332348
    Unten rechts KachelX + 1 62915 KachelY + 1 31042 -0.12564261 1.19262446 -7.198791 68.332348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19264215-1.19262446) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19264215-1.19262446) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12569055--0.12564261) × cos(1.19264215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369205687777666 × 6371000     		do = 112.764920401759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12569055--0.12564261) × cos(1.19262446) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369222127880829 × 6371000     		du = 112.769941632434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19264215)-sin(1.19262446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369205687777666-0.369222127880829)×R²
    abs(-0.12564261--0.12569055)×1.64401031633177e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64401031633177e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64401031633177e-05×40589641000000     		ar = 12709.2266504774m²