Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62913 / 76101
↖ ↑ ↗
← S 27.851219°
W  7.204285°		 ← 270.05 m → S 27.851219°
W  7.201538°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
S 27.853647°
W  7.204285°		 ← 270.04 m →
72 913 m²		 S 27.853647°
W  7.201538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479991912841797 y=0.580608367919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479991912841797 × 217)
    floor (0.479991912841797 × 131072)
    floor (62913.5)     		tx = 62913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580608367919922 × 217)
    floor (0.580608367919922 × 131072)
    floor (76101.5)     		ty = 76101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62913 / 76101 ti = "17/62913/76101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62913/76101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62913 ÷ 217
    62913 ÷ 131072     		x = 0.479988098144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76101 ÷ 217
    76101 ÷ 131072     		y = 0.580604553222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479988098144531 × 2 - 1) × π
    -0.0400238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12573849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580604553222656 × 2 - 1) × π
    -0.161209106445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.506453344485893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12573849} λ = -0.12573849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506453344485893))-π/2
    2×atan(0.602629110983444)-π/2
    2×0.542350428021979-π/2
    1.08470085604396-1.57079632675     		φ = -0.48609547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12573849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.204285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48609547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.851219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62913 KachelY 76101 -0.12573849 -0.48609547 -7.204285 -27.851219
    Oben rechts KachelX + 1 62914 KachelY 76101 -0.12569055 -0.48609547 -7.201538 -27.851219
    Unten links KachelX 62913 KachelY + 1 76102 -0.12573849 -0.48613785 -7.204285 -27.853647
    Unten rechts KachelX + 1 62914 KachelY + 1 76102 -0.12569055 -0.48613785 -7.201538 -27.853647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48609547--0.48613785) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48609547--0.48613785) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12573849--0.12569055) × cos(-0.48609547) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.884163701110118 × 6371000     		do = 270.046352692676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12573849--0.12569055) × cos(-0.48613785) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.884143901345771 × 6371000     		du = 270.040305334998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48609547)-sin(-0.48613785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884163701110118-0.884143901345771)×R²
    abs(-0.12569055--0.12573849)×1.97997643470726e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.97997643470726e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.97997643470726e-05×40589641000000     		ar = 72912.5035737722m²