Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62913 / 76094
↖ ↑ ↗
← S 27.834219°
W  7.204285°		 ← 270.09 m → S 27.834219°
W  7.201538°		 →
↑
270.07 m
↓
↑
270.07 m
↓
S 27.836647°
W  7.204285°		 ← 270.08 m →
72 941 m²		 S 27.836647°
W  7.201538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479991912841797 y=0.580554962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479991912841797 × 217)
    floor (0.479991912841797 × 131072)
    floor (62913.5)     		tx = 62913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580554962158203 × 217)
    floor (0.580554962158203 × 131072)
    floor (76094.5)     		ty = 76094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62913 / 76094 ti = "17/62913/76094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62913/76094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62913 ÷ 217
    62913 ÷ 131072     		x = 0.479988098144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76094 ÷ 217
    76094 ÷ 131072     		y = 0.580551147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479988098144531 × 2 - 1) × π
    -0.0400238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12573849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580551147460938 × 2 - 1) × π
    -0.161102294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.506117786188553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12573849} λ = -0.12573849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506117786188553))-π/2
    2×atan(0.602831362113478)-π/2
    2×0.542498783881014-π/2
    1.08499756776203-1.57079632675     		φ = -0.48579876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12573849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.204285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48579876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.834219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62913 KachelY 76094 -0.12573849 -0.48579876 -7.204285 -27.834219
    Oben rechts KachelX + 1 62914 KachelY 76094 -0.12569055 -0.48579876 -7.201538 -27.834219
    Unten links KachelX 62913 KachelY + 1 76095 -0.12573849 -0.48584115 -7.204285 -27.836647
    Unten rechts KachelX + 1 62914 KachelY + 1 76095 -0.12569055 -0.48584115 -7.201538 -27.836647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48579876--0.48584115) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dl = 270.066690000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48579876--0.48584115) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dr = 270.066690000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12573849--0.12569055) × cos(-0.48579876) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.884302278339882 × 6371000     		do = 270.088677745624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12573849--0.12569055) × cos(-0.48584115) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.884282485024737 × 6371000     		du = 270.082632357698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48579876)-sin(-0.48584115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884302278339882-0.884282485024737)×R²
    abs(-0.12569055--0.12573849)×1.97933151453444e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.97933151453444e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.97933151453444e-05×40589641000000     		ar = 72941.1388872589m²