Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62912 / 76097
↖ ↑ ↗
← S 27.841505°
W  7.207031°		 ← 270.01 m → S 27.841505°
W  7.204285°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
S 27.843933°
W  7.207031°		 ← 270.01 m →
72 904 m²		 S 27.843933°
W  7.204285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479984283447266 y=0.580577850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479984283447266 × 217)
    floor (0.479984283447266 × 131072)
    floor (62912.5)     		tx = 62912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580577850341797 × 217)
    floor (0.580577850341797 × 131072)
    floor (76097.5)     		ty = 76097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62912 / 76097 ti = "17/62912/76097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62912/76097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62912 ÷ 217
    62912 ÷ 131072     		x = 0.47998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76097 ÷ 217
    76097 ÷ 131072     		y = 0.580574035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580574035644531 × 2 - 1) × π
    -0.161148071289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.506261596887413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12578642} λ = -0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506261596887413))-π/2
    2×atan(0.602744674747432)-π/2
    2×0.542435199951597-π/2
    1.08487039990319-1.57079632675     		φ = -0.48592593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48592593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.841505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62912 KachelY 76097 -0.12578642 -0.48592593 -7.207031 -27.841505
    Oben rechts KachelX + 1 62913 KachelY 76097 -0.12573849 -0.48592593 -7.204285 -27.841505
    Unten links KachelX 62912 KachelY + 1 76098 -0.12578642 -0.48596831 -7.207031 -27.843933
    Unten rechts KachelX + 1 62913 KachelY + 1 76098 -0.12573849 -0.48596831 -7.204285 -27.843933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48592593--0.48596831) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48592593--0.48596831) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12578642--0.12573849) × cos(-0.48592593) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.884242893627548 × 6371000     		do = 270.014205011191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12578642--0.12573849) × cos(-0.48596831) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.884223100216223 × 6371000     		du = 270.008160854928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48592593)-sin(-0.48596831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884242893627548-0.884223100216223)×R²
    abs(-0.12573849--0.12578642)×1.97934113245202e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.97934113245202e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.97934113245202e-05×40589641000000     		ar = 72903.8240362642m²