Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62911 / 76099
↖ ↑ ↗
← S 27.846362°
W  7.209778°		 ← 270.06 m → S 27.846362°
W  7.207031°		 →
↑
270.07 m
↓
↑
270.07 m
↓
S 27.848791°
W  7.209778°		 ← 270.05 m →
72 933 m²		 S 27.848791°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479976654052734 y=0.580593109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479976654052734 × 217)
    floor (0.479976654052734 × 131072)
    floor (62911.5)     		tx = 62911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580593109130859 × 217)
    floor (0.580593109130859 × 131072)
    floor (76099.5)     		ty = 76099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62911 / 76099 ti = "17/62911/76099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62911/76099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62911 ÷ 217
    62911 ÷ 131072     		x = 0.479972839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76099 ÷ 217
    76099 ÷ 131072     		y = 0.580589294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479972839355469 × 2 - 1) × π
    -0.0400543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12583436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580589294433594 × 2 - 1) × π
    -0.161178588867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.506357470686653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12583436} λ = -0.12583436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506357470686653))-π/2
    2×atan(0.602686890095554)-π/2
    2×0.542392813037705-π/2
    1.08478562607541-1.57079632675     		φ = -0.48601070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12583436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.209778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48601070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.846362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62911 KachelY 76099 -0.12583436 -0.48601070 -7.209778 -27.846362
    Oben rechts KachelX + 1 62912 KachelY 76099 -0.12578642 -0.48601070 -7.207031 -27.846362
    Unten links KachelX 62911 KachelY + 1 76100 -0.12583436 -0.48605309 -7.209778 -27.848791
    Unten rechts KachelX + 1 62912 KachelY + 1 76100 -0.12578642 -0.48605309 -7.207031 -27.848791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48601070--0.48605309) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dl = 270.066690000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48601070--0.48605309) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dr = 270.066690000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12583436--0.12578642) × cos(-0.48601070) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.884203300545755 × 6371000     		do = 270.058447379609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12583436--0.12578642) × cos(-0.48605309) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.88418349928645 × 6371000     		du = 270.052399565333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48601070)-sin(-0.48605309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884203300545755-0.88418349928645)×R²
    abs(-0.12578642--0.12583436)×1.98012593043417e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98012593043417e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98012593043417e-05×40589641000000     		ar = 72932.9743447391m²