Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62911 / 38977
↖ ↑ ↗
← N 58.721173°
W  7.209778°		 ← 158.58 m → N 58.721173°
W  7.207031°		 →
↑
158.57 m
↓
↑
158.57 m
↓
N 58.719747°
W  7.209778°		 ← 158.58 m →
25 147 m²		 N 58.719747°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479976654052734 y=0.297374725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479976654052734 × 217)
    floor (0.479976654052734 × 131072)
    floor (62911.5)     		tx = 62911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297374725341797 × 217)
    floor (0.297374725341797 × 131072)
    floor (38977.5)     		ty = 38977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62911 / 38977 ti = "17/62911/38977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62911/38977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62911 ÷ 217
    62911 ÷ 131072     		x = 0.479972839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38977 ÷ 217
    38977 ÷ 131072     		y = 0.297370910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479972839355469 × 2 - 1) × π
    -0.0400543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12583436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297370910644531 × 2 - 1) × π
    0.405258178710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.27315611700907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12583436} λ = -0.12583436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27315611700907))-π/2
    2×atan(3.57210878332593)-π/2
    2×1.29783706658268-π/2
    2.59567413316536-1.57079632675     		φ = 1.02487781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12583436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.209778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02487781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.721173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62911 KachelY 38977 -0.12583436 1.02487781 -7.209778 58.721173
    Oben rechts KachelX + 1 62912 KachelY 38977 -0.12578642 1.02487781 -7.207031 58.721173
    Unten links KachelX 62911 KachelY + 1 38978 -0.12583436 1.02485292 -7.209778 58.719747
    Unten rechts KachelX + 1 62912 KachelY + 1 38978 -0.12578642 1.02485292 -7.207031 58.719747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02487781-1.02485292) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dl = 158.574189999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02487781-1.02485292) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dr = 158.574189999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12583436--0.12578642) × cos(1.02487781) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.519203320484746 × 6371000     		do = 158.578058369498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12583436--0.12578642) × cos(1.02485292) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.519224592581194 × 6371000     		du = 158.584555415298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02487781)-sin(1.02485292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519203320484746-0.519224592581194)×R²
    abs(-0.12578642--0.12583436)×2.12720964484214e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12720964484214e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12720964484214e-05×40589641000000     		ar = 25146.9022907883m²