Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62911 / 26944
↖ ↑ ↗
← N 72.127936°
W  7.209778°		 ← 93.73 m → N 72.127936°
W  7.207031°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
N 72.127093°
W  7.209778°		 ← 93.74 m →
8 785 m²		 N 72.127093°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479976654052734 y=0.205570220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479976654052734 × 217)
    floor (0.479976654052734 × 131072)
    floor (62911.5)     		tx = 62911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205570220947266 × 217)
    floor (0.205570220947266 × 131072)
    floor (26944.5)     		ty = 26944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62911 / 26944 ti = "17/62911/26944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62911/26944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62911 ÷ 217
    62911 ÷ 131072     		x = 0.479972839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26944 ÷ 217
    26944 ÷ 131072     		y = 0.20556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479972839355469 × 2 - 1) × π
    -0.0400543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12583436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20556640625 × 2 - 1) × π
    0.5888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84998083013721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12583436} λ = -0.12583436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84998083013721))-π/2
    2×atan(6.35969760690275)-π/2
    2×1.41483314877588-π/2
    2.82966629755177-1.57079632675     		φ = 1.25886997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12583436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.209778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25886997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.127936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62911 KachelY 26944 -0.12583436 1.25886997 -7.209778 72.127936
    Oben rechts KachelX + 1 62912 KachelY 26944 -0.12578642 1.25886997 -7.207031 72.127936
    Unten links KachelX 62911 KachelY + 1 26945 -0.12583436 1.25885526 -7.209778 72.127093
    Unten rechts KachelX + 1 62912 KachelY + 1 26945 -0.12578642 1.25885526 -7.207031 72.127093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25886997-1.25885526) × R
    1.47099999998623e-05 × 6371000     		dl = 93.7174099991229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25886997-1.25885526) × R
    1.47099999998623e-05 × 6371000     		dr = 93.7174099991229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12583436--0.12578642) × cos(1.25886997) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.306892603538866 × 6371000     		do = 93.7329005363775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12583436--0.12578642) × cos(1.25885526) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.30690660366213 × 6371000     		du = 93.7371765343856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25886997)-sin(1.25885526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306892603538866-0.30690660366213)×R²
    abs(-0.12578642--0.12583436)×1.40001232644127e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.40001232644127e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.40001232644127e-05×40589641000000     		ar = 8784.60503799792m²