Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62910 / 79032
↖ ↑ ↗
← S 34.723555°
W  7.212525°		 ← 251.03 m → S 34.723555°
W  7.209778°		 →
↑
251.02 m
↓
↑
251.02 m
↓
S 34.725812°
W  7.212525°		 ← 251.03 m →
63 013 m²		 S 34.725812°
W  7.209778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479969024658203 y=0.602970123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479969024658203 × 217)
    floor (0.479969024658203 × 131072)
    floor (62910.5)     		tx = 62910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602970123291016 × 217)
    floor (0.602970123291016 × 131072)
    floor (79032.5)     		ty = 79032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62910 / 79032 ti = "17/62910/79032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62910/79032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62910 ÷ 217
    62910 ÷ 131072     		x = 0.479965209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79032 ÷ 217
    79032 ÷ 131072     		y = 0.60296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479965209960938 × 2 - 1) × π
    -0.040069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12588230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60296630859375 × 2 - 1) × π
    -0.2059326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.646956397272278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12588230} λ = -0.12588230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646956397272278))-π/2
    2×atan(0.523637097156274)-π/2
    2×0.482377982668055-π/2
    0.964755965336109-1.57079632675     		φ = -0.60604036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12588230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.212525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60604036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.723555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62910 KachelY 79032 -0.12588230 -0.60604036 -7.212525 -34.723555
    Oben rechts KachelX + 1 62911 KachelY 79032 -0.12583436 -0.60604036 -7.209778 -34.723555
    Unten links KachelX 62910 KachelY + 1 79033 -0.12588230 -0.60607976 -7.212525 -34.725812
    Unten rechts KachelX + 1 62911 KachelY + 1 79033 -0.12583436 -0.60607976 -7.209778 -34.725812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60604036--0.60607976) × R
    3.94000000000228e-05 × 6371000     		dl = 251.017400000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60604036--0.60607976) × R
    3.94000000000228e-05 × 6371000     		dr = 251.017400000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12588230--0.12583436) × cos(-0.60604036) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.821909935308372 × 6371000     		do = 251.032450204892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12588230--0.12583436) × cos(-0.60607976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.821887491742244 × 6371000     		du = 251.025595362099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60604036)-sin(-0.60607976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821909935308372-0.821887491742244)×R²
    abs(-0.12583436--0.12588230)×2.24435661277944e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24435661277944e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24435661277944e-05×40589641000000     		ar = 63012.6526317451m²