Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62902 / 26674
↖ ↑ ↗
← N 72.354125°
W  7.234497°		 ← 92.57 m → N 72.354125°
W  7.231751°		 →
↑
92.63 m
↓
↑
92.63 m
↓
N 72.353291°
W  7.234497°		 ← 92.57 m →
8 575 m²		 N 72.353291°
W  7.231751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479907989501953 y=0.203510284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479907989501953 × 217)
    floor (0.479907989501953 × 131072)
    floor (62902.5)     		tx = 62902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203510284423828 × 217)
    floor (0.203510284423828 × 131072)
    floor (26674.5)     		ty = 26674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62902 / 26674 ti = "17/62902/26674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62902/26674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62902 ÷ 217
    62902 ÷ 131072     		x = 0.479904174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26674 ÷ 217
    26674 ÷ 131072     		y = 0.203506469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479904174804688 × 2 - 1) × π
    -0.040191650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12626579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203506469726562 × 2 - 1) × π
    0.592987060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.86292379303462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12626579} λ = -0.12626579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86292379303462))-π/2
    2×atan(6.4425459319046)-π/2
    2×1.41680701102563-π/2
    2.83361402205125-1.57079632675     		φ = 1.26281770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12626579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.234497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26281770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.354125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62902 KachelY 26674 -0.12626579 1.26281770 -7.234497 72.354125
    Oben rechts KachelX + 1 62903 KachelY 26674 -0.12621786 1.26281770 -7.231751 72.354125
    Unten links KachelX 62902 KachelY + 1 26675 -0.12626579 1.26280316 -7.234497 72.353291
    Unten rechts KachelX + 1 62903 KachelY + 1 26675 -0.12621786 1.26280316 -7.231751 72.353291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26281770-1.26280316) × R
    1.45400000000073e-05 × 6371000     		dl = 92.6343400000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26281770-1.26280316) × R
    1.45400000000073e-05 × 6371000     		dr = 92.6343400000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12626579--0.12621786) × cos(1.26281770) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.303132992966979 × 6371000     		do = 92.5653060923756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12626579--0.12621786) × cos(1.26280316) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.303146848802654 × 6371000     		du = 92.5695371384846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26281770)-sin(1.26280316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303132992966979-0.303146848802654)×R²
    abs(-0.12621786--0.12626579)×1.38558356748142e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.38558356748142e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.38558356748142e-05×40589641000000     		ar = 8574.9220070241m²