Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62900 / 29206
↖ ↑ ↗
← N 70.119827°
W  7.239990°		 ← 103.86 m → N 70.119827°
W  7.237244°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
N 70.118893°
W  7.239990°		 ← 103.87 m →
10 786 m²		 N 70.118893°
W  7.237244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479892730712891 y=0.222827911376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479892730712891 × 217)
    floor (0.479892730712891 × 131072)
    floor (62900.5)     		tx = 62900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222827911376953 × 217)
    floor (0.222827911376953 × 131072)
    floor (29206.5)     		ty = 29206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62900 / 29206 ti = "17/62900/29206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62900/29206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62900 ÷ 217
    62900 ÷ 131072     		x = 0.479888916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29206 ÷ 217
    29206 ÷ 131072     		y = 0.222824096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479888916015625 × 2 - 1) × π
    -0.04022216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12636167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222824096679688 × 2 - 1) × π
    0.554351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74154756319664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12636167} λ = -0.12636167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74154756319664))-π/2
    2×atan(5.70616724762386)-π/2
    2×1.39730908727066-π/2
    2.79461817454132-1.57079632675     		φ = 1.22382185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12636167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.239990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22382185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.119827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62900 KachelY 29206 -0.12636167 1.22382185 -7.239990 70.119827
    Oben rechts KachelX + 1 62901 KachelY 29206 -0.12631373 1.22382185 -7.237244 70.119827
    Unten links KachelX 62900 KachelY + 1 29207 -0.12636167 1.22380555 -7.239990 70.118893
    Unten rechts KachelX + 1 62901 KachelY + 1 29207 -0.12631373 1.22380555 -7.237244 70.118893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22382185-1.22380555) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22382185-1.22380555) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12636167--0.12631373) × cos(1.22382185) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.3400541484443 × 6371000     		do = 103.861289928662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12636167--0.12631373) × cos(1.22380555) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.340069477014596 × 6371000     		du = 103.865971668588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22382185)-sin(1.22380555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3400541484443-0.340069477014596)×R²
    abs(-0.12631373--0.12636167)×1.53285702960138e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.53285702960138e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.53285702960138e-05×40589641000000     		ar = 10785.9576268986m²