Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 629 / 893
↖ ↑ ↗
← N 70.699951°
W124.716797°		 ← 3 230.12 m → N 70.699951°
W124.628906°		 →
↑
3 232.45 m
↓
↑
3 232.45 m
↓
N 70.670881°
W124.716797°		 ← 3 234.80 m →
10 448 780 m²		 N 70.670881°
W124.628906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1536865234375 y=0.2181396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1536865234375 × 212)
    floor (0.1536865234375 × 4096)
    floor (629.5)     		tx = 629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2181396484375 × 212)
    floor (0.2181396484375 × 4096)
    floor (893.5)     		ty = 893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 629 / 893 ti = "12/629/893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/629/893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 629 ÷ 212
    629 ÷ 4096     		x = 0.153564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 893 ÷ 212
    893 ÷ 4096     		y = 0.218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153564453125 × 2 - 1) × π
    -0.69287109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17671874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218017578125 × 2 - 1) × π
    0.56396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77174780995728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17671874} λ = -2.17671874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77174780995728))-π/2
    2×atan(5.88112346982977)-π/2
    2×1.40237162893275-π/2
    2.80474325786551-1.57079632675     		φ = 1.23394693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17671874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.716797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23394693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.699951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 629 KachelY 893 -2.17671874 1.23394693 -124.716797 70.699951
    Oben rechts KachelX + 1 630 KachelY 893 -2.17518476 1.23394693 -124.628906 70.699951
    Unten links KachelX 629 KachelY + 1 894 -2.17671874 1.23343956 -124.716797 70.670881
    Unten rechts KachelX + 1 630 KachelY + 1 894 -2.17518476 1.23343956 -124.628906 70.670881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23394693-1.23343956) × R
    0.000507370000000007 × 6371000     		dl = 3232.45427000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23394693-1.23343956) × R
    0.000507370000000007 × 6371000     		dr = 3232.45427000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17671874--2.17518476) × cos(1.23394693) × R
    0.00153398000000005 × 0.330515196038713 × 6371000     		do = 3230.1205753725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17671874--2.17518476) × cos(1.23343956) × R
    0.00153398000000005 × 0.330994009622915 × 6371000     		du = 3234.80001410524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23394693)-sin(1.23343956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330515196038713-0.330994009622915)×R²
    abs(-2.17518476--2.17671874)×0.000478813584202764×R²
    0.00153398000000005×0.000478813584202764×6371000²
    0.00153398000000005×0.000478813584202764×40589641000000     		ar = 10448780.3064753m²