Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62898 / 38676
↖ ↑ ↗
← N 59.147769°
W  7.245483°		 ← 156.63 m → N 59.147769°
W  7.242737°		 →
↑
156.60 m
↓
↑
156.60 m
↓
N 59.146361°
W  7.245483°		 ← 156.64 m →
24 529 m²		 N 59.146361°
W  7.242737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479877471923828 y=0.295078277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479877471923828 × 217)
    floor (0.479877471923828 × 131072)
    floor (62898.5)     		tx = 62898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295078277587891 × 217)
    floor (0.295078277587891 × 131072)
    floor (38676.5)     		ty = 38676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62898 / 38676 ti = "17/62898/38676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62898/38676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62898 ÷ 217
    62898 ÷ 131072     		x = 0.479873657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38676 ÷ 217
    38676 ÷ 131072     		y = 0.295074462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479873657226562 × 2 - 1) × π
    -0.040252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12645754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295074462890625 × 2 - 1) × π
    0.40985107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28758512379471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12645754} λ = -0.12645754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28758512379471))-π/2
    2×atan(3.62402440994725)-π/2
    2×1.30155982474663-π/2
    2.60311964949327-1.57079632675     		φ = 1.03232332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12645754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.245483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03232332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.147769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62898 KachelY 38676 -0.12645754 1.03232332 -7.245483 59.147769
    Oben rechts KachelX + 1 62899 KachelY 38676 -0.12640960 1.03232332 -7.242737 59.147769
    Unten links KachelX 62898 KachelY + 1 38677 -0.12645754 1.03229874 -7.245483 59.146361
    Unten rechts KachelX + 1 62899 KachelY + 1 38677 -0.12640960 1.03229874 -7.242737 59.146361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03232332-1.03229874) × R
    2.45799999998297e-05 × 6371000     		dl = 156.599179998915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03232332-1.03229874) × R
    2.45799999998297e-05 × 6371000     		dr = 156.599179998915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12645754--0.12640960) × cos(1.03232332) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.512825677426242 × 6371000     		do = 156.630162018899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12645754--0.12640960) × cos(1.03229874) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.512846779023442 × 6371000     		du = 156.636606989839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03232332)-sin(1.03229874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512825677426242-0.512846779023442)×R²
    abs(-0.12640960--0.12645754)×2.1101597200146e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1101597200146e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1101597200146e-05×40589641000000     		ar = 24528.6595751209m²