Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62897 / 38675
↖ ↑ ↗
← N 59.149178°
W  7.248230°		 ← 156.62 m → N 59.149178°
W  7.245483°		 →
↑
156.66 m
↓
↑
156.66 m
↓
N 59.147769°
W  7.248230°		 ← 156.63 m →
24 538 m²		 N 59.147769°
W  7.245483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479869842529297 y=0.295070648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479869842529297 × 217)
    floor (0.479869842529297 × 131072)
    floor (62897.5)     		tx = 62897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295070648193359 × 217)
    floor (0.295070648193359 × 131072)
    floor (38675.5)     		ty = 38675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62897 / 38675 ti = "17/62897/38675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62897/38675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62897 ÷ 217
    62897 ÷ 131072     		x = 0.479866027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38675 ÷ 217
    38675 ÷ 131072     		y = 0.295066833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479866027832031 × 2 - 1) × π
    -0.0402679443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12650548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295066833496094 × 2 - 1) × π
    0.409866333007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.28763306069433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12650548} λ = -0.12650548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28763306069433))-π/2
    2×atan(3.62419813860559)-π/2
    2×1.30157211613017-π/2
    2.60314423226034-1.57079632675     		φ = 1.03234791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12650548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.248230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03234791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.149178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62897 KachelY 38675 -0.12650548 1.03234791 -7.248230 59.149178
    Oben rechts KachelX + 1 62898 KachelY 38675 -0.12645754 1.03234791 -7.245483 59.149178
    Unten links KachelX 62897 KachelY + 1 38676 -0.12650548 1.03232332 -7.248230 59.147769
    Unten rechts KachelX + 1 62898 KachelY + 1 38676 -0.12645754 1.03232332 -7.245483 59.147769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03234791-1.03232332) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dl = 156.662889999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03234791-1.03232332) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dr = 156.662889999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12650548--0.12645754) × cos(1.03234791) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.51280456693415 × 6371000     		do = 156.62371433123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12650548--0.12645754) × cos(1.03232332) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.512825677426242 × 6371000     		du = 156.630162018899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03234791)-sin(1.03232332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51280456693415-0.512825677426242)×R²
    abs(-0.12645754--0.12650548)×2.1110492091081e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1110492091081e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1110492091081e-05×40589641000000     		ar = 24537.6287877304m²