Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62896 / 39440
↖ ↑ ↗
← N 58.054632°
W  7.250976°		 ← 161.57 m → N 58.054632°
W  7.248230°		 →
↑
161.57 m
↓
↑
161.57 m
↓
N 58.053179°
W  7.250976°		 ← 161.58 m →
26 105 m²		 N 58.053179°
W  7.248230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479862213134766 y=0.300907135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479862213134766 × 217)
    floor (0.479862213134766 × 131072)
    floor (62896.5)     		tx = 62896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300907135009766 × 217)
    floor (0.300907135009766 × 131072)
    floor (39440.5)     		ty = 39440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62896 / 39440 ti = "17/62896/39440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62896/39440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62896 ÷ 217
    62896 ÷ 131072     		x = 0.4798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39440 ÷ 217
    39440 ÷ 131072     		y = 0.3009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3009033203125 × 2 - 1) × π
    0.398193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25096133248499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12655341} λ = -0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25096133248499))-π/2
    2×atan(3.49369995086546)-π/2
    2×1.2920203998314-π/2
    2.5840407996628-1.57079632675     		φ = 1.01324447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01324447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.054632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62896 KachelY 39440 -0.12655341 1.01324447 -7.250976 58.054632
    Oben rechts KachelX + 1 62897 KachelY 39440 -0.12650548 1.01324447 -7.248230 58.054632
    Unten links KachelX 62896 KachelY + 1 39441 -0.12655341 1.01321911 -7.250976 58.053179
    Unten rechts KachelX + 1 62897 KachelY + 1 39441 -0.12650548 1.01321911 -7.248230 58.053179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01324447-1.01321911) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dl = 161.568559999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01324447-1.01321911) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dr = 161.568559999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12655341--0.12650548) × cos(1.01324447) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.529110406343535 × 6371000     		do = 161.570227775192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12655341--0.12650548) × cos(1.01321911) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.529131925477232 × 6371000     		du = 161.576798901542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01324447)-sin(1.01321911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529110406343535-0.529131925477232)×R²
    abs(-0.12650548--0.12655341)×2.15191336966347e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15191336966347e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15191336966347e-05×40589641000000     		ar = 26105.1998857231m²