Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62895 / 79024
S 34.705493°
W  7.253723°
← 251.09 m → S 34.705493°
W  7.250976°

251.08 m

251.08 m
S 34.707752°
W  7.253723°
← 251.08 m →
63 042 m²
S 34.707752°
W  7.250976°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479854583740234 y=0.602909088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479854583740234 × 217)
    floor (0.479854583740234 × 131072)
    floor (62895.5)
    tx = 62895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602909088134766 × 217)
    floor (0.602909088134766 × 131072)
    floor (79024.5)
    ty = 79024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62895 / 79024 ti = "17/62895/79024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62895/79024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62895 ÷ 217
    62895 ÷ 131072
    x = 0.479850769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79024 ÷ 217
    79024 ÷ 131072
    y = 0.6029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.479850769042969 × 2 - 1) × π
    -0.0402984619140625 × 3.1415926535
    Λ = -0.12660135
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.6029052734375 × 2 - 1) × π
    -0.205810546875 × 3.1415926535
    Φ = -0.646572902075317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12660135} λ = -0.12660135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646572902075317))-π/2
    2×atan(0.523837947978185)-π/2
    2×0.48253559913623-π/2
    0.96507119827246-1.57079632675
    φ = -0.60572513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12660135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.253723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60572513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.705493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62895 KachelY 79024 -0.12660135 -0.60572513 -7.253723 -34.705493
    Oben rechts KachelX + 1 62896 KachelY 79024 -0.12655341 -0.60572513 -7.250976 -34.705493
    Unten links KachelX 62895 KachelY + 1 79025 -0.12660135 -0.60576454 -7.253723 -34.707752
    Unten rechts KachelX + 1 62896 KachelY + 1 79025 -0.12655341 -0.60576454 -7.250976 -34.707752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.60572513--0.60576454) × R
    3.9410000000073e-05 × 6371000
    dl = 251.081110000465m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.60572513--0.60576454) × R
    3.9410000000073e-05 × 6371000
    dr = 251.081110000465m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12660135--0.12655341) × cos(-0.60572513) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822089454982815 × 6371000
    do = 251.087280134304m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12660135--0.12655341) × cos(-0.60576454) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822067015931928 × 6371000
    du = 251.080426670581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.60572513)-sin(-0.60576454))×
    abs(λ12)×abs(0.822089454982815-0.822067015931928)×
    abs(-0.12655341--0.12660135)×2.24390508872796e-05×
    4.79399999999963e-05×2.24390508872796e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24390508872796e-05×40589641000000
    ar = 63042.4126236012m²