Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62895 / 38678
↖ ↑ ↗
← N 59.144952°
W  7.253723°		 ← 156.64 m → N 59.144952°
W  7.250976°		 →
↑
156.60 m
↓
↑
156.60 m
↓
N 59.143544°
W  7.253723°		 ← 156.65 m →
24 531 m²		 N 59.143544°
W  7.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479854583740234 y=0.295093536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479854583740234 × 217)
    floor (0.479854583740234 × 131072)
    floor (62895.5)     		tx = 62895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295093536376953 × 217)
    floor (0.295093536376953 × 131072)
    floor (38678.5)     		ty = 38678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62895 / 38678 ti = "17/62895/38678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62895/38678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62895 ÷ 217
    62895 ÷ 131072     		x = 0.479850769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38678 ÷ 217
    38678 ÷ 131072     		y = 0.295089721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479850769042969 × 2 - 1) × π
    -0.0402984619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12660135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295089721679688 × 2 - 1) × π
    0.409820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28748924999547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12660135} λ = -0.12660135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28748924999547))-π/2
    2×atan(3.62367697761363)-π/2
    2×1.30153524046202-π/2
    2.60307048092404-1.57079632675     		φ = 1.03227415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12660135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.253723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03227415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.144952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62895 KachelY 38678 -0.12660135 1.03227415 -7.253723 59.144952
    Oben rechts KachelX + 1 62896 KachelY 38678 -0.12655341 1.03227415 -7.250976 59.144952
    Unten links KachelX 62895 KachelY + 1 38679 -0.12660135 1.03224957 -7.253723 59.143544
    Unten rechts KachelX + 1 62896 KachelY + 1 38679 -0.12655341 1.03224957 -7.250976 59.143544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03227415-1.03224957) × R
    2.45799999998297e-05 × 6371000     		dl = 156.599179998915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03227415-1.03224957) × R
    2.45799999998297e-05 × 6371000     		dr = 156.599179998915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12660135--0.12655341) × cos(1.03227415) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.512867888895468 × 6371000     		do = 156.643054488124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12660135--0.12655341) × cos(1.03224957) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.512888989872829 × 6371000     		du = 156.649499269749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03227415)-sin(1.03224957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512867888895468-0.512888989872829)×R²
    abs(-0.12655341--0.12660135)×2.11009773615212e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11009773615212e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11009773615212e-05×40589641000000     		ar = 24530.6785103523m²