Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62894 / 39468
↖ ↑ ↗
← N 58.013918°
W  7.256470°		 ← 161.79 m → N 58.013918°
W  7.253723°		 →
↑
161.76 m
↓
↑
161.76 m
↓
N 58.012463°
W  7.256470°		 ← 161.79 m →
26 171 m²		 N 58.012463°
W  7.253723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479846954345703 y=0.301120758056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479846954345703 × 217)
    floor (0.479846954345703 × 131072)
    floor (62894.5)     		tx = 62894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301120758056641 × 217)
    floor (0.301120758056641 × 131072)
    floor (39468.5)     		ty = 39468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62894 / 39468 ti = "17/62894/39468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62894/39468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62894 ÷ 217
    62894 ÷ 131072     		x = 0.479843139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39468 ÷ 217
    39468 ÷ 131072     		y = 0.301116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479843139648438 × 2 - 1) × π
    -0.040313720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12664929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301116943359375 × 2 - 1) × π
    0.39776611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24961909929562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12664929} λ = -0.12664929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24961909929562))-π/2
    2×atan(3.48901373653749)-π/2
    2×1.29166510279336-π/2
    2.58333020558672-1.57079632675     		φ = 1.01253388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12664929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.256470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01253388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.013918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62894 KachelY 39468 -0.12664929 1.01253388 -7.256470 58.013918
    Oben rechts KachelX + 1 62895 KachelY 39468 -0.12660135 1.01253388 -7.253723 58.013918
    Unten links KachelX 62894 KachelY + 1 39469 -0.12664929 1.01250849 -7.256470 58.012463
    Unten rechts KachelX + 1 62895 KachelY + 1 39469 -0.12660135 1.01250849 -7.253723 58.012463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01253388-1.01250849) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dl = 161.759690000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01253388-1.01250849) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dr = 161.759690000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12664929--0.12660135) × cos(1.01253388) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529713245978391 × 6371000     		do = 161.78806014074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12664929--0.12660135) × cos(1.01250849) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529734781016495 × 6371000     		du = 161.794637495689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01253388)-sin(1.01250849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529713245978391-0.529734781016495)×R²
    abs(-0.12660135--0.12664929)×2.15350381042034e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15350381042034e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15350381042034e-05×40589641000000     		ar = 26171.3184309732m²