Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62893 / 29189
↖ ↑ ↗
← N 70.135698°
W  7.259217°		 ← 103.78 m → N 70.135698°
W  7.256470°		 →
↑
103.78 m
↓
↑
103.78 m
↓
N 70.134765°
W  7.259217°		 ← 103.79 m →
10 771 m²		 N 70.134765°
W  7.256470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479839324951172 y=0.222698211669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479839324951172 × 217)
    floor (0.479839324951172 × 131072)
    floor (62893.5)     		tx = 62893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222698211669922 × 217)
    floor (0.222698211669922 × 131072)
    floor (29189.5)     		ty = 29189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62893 / 29189 ti = "17/62893/29189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62893/29189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62893 ÷ 217
    62893 ÷ 131072     		x = 0.479835510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29189 ÷ 217
    29189 ÷ 131072     		y = 0.222694396972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479835510253906 × 2 - 1) × π
    -0.0403289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12669723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222694396972656 × 2 - 1) × π
    0.554611206054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.74236249049018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12669723} λ = -0.12669723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74236249049018))-π/2
    2×atan(5.71081925432162)-π/2
    2×1.39744759389326-π/2
    2.79489518778653-1.57079632675     		φ = 1.22409886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12669723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.259217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22409886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.135698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62893 KachelY 29189 -0.12669723 1.22409886 -7.259217 70.135698
    Oben rechts KachelX + 1 62894 KachelY 29189 -0.12664929 1.22409886 -7.256470 70.135698
    Unten links KachelX 62893 KachelY + 1 29190 -0.12669723 1.22408257 -7.259217 70.134765
    Unten rechts KachelX + 1 62894 KachelY + 1 29190 -0.12664929 1.22408257 -7.256470 70.134765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22409886-1.22408257) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dl = 103.78359000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22409886-1.22408257) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dr = 103.78359000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12669723--0.12664929) × cos(1.22409886) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.339793633574199 × 6371000     		do = 103.781721981681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12669723--0.12664929) × cos(1.22408257) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.33980895427443 × 6371000     		du = 103.786401317886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22409886)-sin(1.22408257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339793633574199-0.33980895427443)×R²
    abs(-0.12664929--0.12669723)×1.53207002316358e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.53207002316358e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.53207002316358e-05×40589641000000     		ar = 10771.0825029846m²