Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62892 / 29211
↖ ↑ ↗
← N 70.115156°
W  7.261963°		 ← 103.86 m → N 70.115156°
W  7.259217°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
N 70.114222°
W  7.261963°		 ← 103.87 m →
10 786 m²		 N 70.114222°
W  7.259217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479831695556641 y=0.222866058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479831695556641 × 217)
    floor (0.479831695556641 × 131072)
    floor (62892.5)     		tx = 62892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222866058349609 × 217)
    floor (0.222866058349609 × 131072)
    floor (29211.5)     		ty = 29211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62892 / 29211 ti = "17/62892/29211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62892/29211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62892 ÷ 217
    62892 ÷ 131072     		x = 0.479827880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29211 ÷ 217
    29211 ÷ 131072     		y = 0.222862243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479827880859375 × 2 - 1) × π
    -0.04034423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12674516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222862243652344 × 2 - 1) × π
    0.554275512695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.74130787869854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12674516} λ = -0.12674516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74130787869854))-π/2
    2×atan(5.70479973168377)-π/2
    2×1.3972683298233-π/2
    2.7945366596466-1.57079632675     		φ = 1.22374033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12674516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.261963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22374033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.115156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62892 KachelY 29211 -0.12674516 1.22374033 -7.261963 70.115156
    Oben rechts KachelX + 1 62893 KachelY 29211 -0.12669723 1.22374033 -7.259217 70.115156
    Unten links KachelX 62892 KachelY + 1 29212 -0.12674516 1.22372403 -7.261963 70.114222
    Unten rechts KachelX + 1 62893 KachelY + 1 29212 -0.12669723 1.22372403 -7.259217 70.114222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22374033-1.22372403) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22374033-1.22372403) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12674516--0.12669723) × cos(1.22374033) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.340130809199772 × 6371000     		do = 103.863034362788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12674516--0.12669723) × cos(1.22372403) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.340146137318151 × 6371000     		du = 103.867714988133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22374033)-sin(1.22372403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340130809199772-0.340146137318151)×R²
    abs(-0.12669723--0.12674516)×1.5328118379121e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.5328118379121e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.5328118379121e-05×40589641000000     		ar = 10786.1387238797m²