Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62892 / 26477
↖ ↑ ↗
← N 72.517407°
W  7.261963°		 ← 91.74 m → N 72.517407°
W  7.259217°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
N 72.516582°
W  7.261963°		 ← 91.74 m →
8 416 m²		 N 72.516582°
W  7.259217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479831695556641 y=0.202007293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479831695556641 × 217)
    floor (0.479831695556641 × 131072)
    floor (62892.5)     		tx = 62892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202007293701172 × 217)
    floor (0.202007293701172 × 131072)
    floor (26477.5)     		ty = 26477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62892 / 26477 ti = "17/62892/26477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62892/26477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62892 ÷ 217
    62892 ÷ 131072     		x = 0.479827880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26477 ÷ 217
    26477 ÷ 131072     		y = 0.202003479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479827880859375 × 2 - 1) × π
    -0.04034423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12674516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202003479003906 × 2 - 1) × π
    0.595993041992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.87236736225977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12674516} λ = -0.12674516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87236736225977))-π/2
    2×atan(6.50367474318588)-π/2
    2×1.41823191666169-π/2
    2.83646383332337-1.57079632675     		φ = 1.26566751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12674516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.261963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26566751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.517407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62892 KachelY 26477 -0.12674516 1.26566751 -7.261963 72.517407
    Oben rechts KachelX + 1 62893 KachelY 26477 -0.12669723 1.26566751 -7.259217 72.517407
    Unten links KachelX 62892 KachelY + 1 26478 -0.12674516 1.26565311 -7.261963 72.516582
    Unten rechts KachelX + 1 62893 KachelY + 1 26478 -0.12669723 1.26565311 -7.259217 72.516582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26566751-1.26565311) × R
    1.4400000000192e-05 × 6371000     		dl = 91.7424000012235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26566751-1.26565311) × R
    1.4400000000192e-05 × 6371000     		dr = 91.7424000012235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12674516--0.12669723) × cos(1.26566751) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.300416044224676 × 6371000     		do = 91.7356531090198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12674516--0.12669723) × cos(1.26565311) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.300429779032499 × 6371000     		du = 91.7398471978184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26566751)-sin(1.26565311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300416044224676-0.300429779032499)×R²
    abs(-0.12669723--0.12674516)×1.37348078231847e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.37348078231847e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.37348078231847e-05×40589641000000     		ar = 8416.24136978625m²