Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62885 / 38779
↖ ↑ ↗
← N 59.002384°
W  7.281189°		 ← 157.29 m → N 59.002384°
W  7.278442°		 →
↑
157.24 m
↓
↑
157.24 m
↓
N 59.000970°
W  7.281189°		 ← 157.30 m →
24 733 m²		 N 59.000970°
W  7.278442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479778289794922 y=0.295864105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479778289794922 × 217)
    floor (0.479778289794922 × 131072)
    floor (62885.5)     		tx = 62885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295864105224609 × 217)
    floor (0.295864105224609 × 131072)
    floor (38779.5)     		ty = 38779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62885 / 38779 ti = "17/62885/38779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62885/38779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62885 ÷ 217
    62885 ÷ 131072     		x = 0.479774475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38779 ÷ 217
    38779 ÷ 131072     		y = 0.295860290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479774475097656 × 2 - 1) × π
    -0.0404510498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12708072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295860290527344 × 2 - 1) × π
    0.408279418945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.28264762313384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12708072} λ = -0.12708072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28264762313384))-π/2
    2×atan(3.60617488930078)-π/2
    2×1.30029110050896-π/2
    2.60058220101792-1.57079632675     		φ = 1.02978587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12708072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.281189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02978587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.002384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62885 KachelY 38779 -0.12708072 1.02978587 -7.281189 59.002384
    Oben rechts KachelX + 1 62886 KachelY 38779 -0.12703278 1.02978587 -7.278442 59.002384
    Unten links KachelX 62885 KachelY + 1 38780 -0.12708072 1.02976119 -7.281189 59.000970
    Unten rechts KachelX + 1 62886 KachelY + 1 38780 -0.12703278 1.02976119 -7.278442 59.000970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02978587-1.02976119) × R
    2.46799999998881e-05 × 6371000     		dl = 157.236279999287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02978587-1.02976119) × R
    2.46799999998881e-05 × 6371000     		dr = 157.236279999287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12708072--0.12703278) × cos(1.02978587) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515002406598459 × 6371000     		do = 157.294991137103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12708072--0.12703278) × cos(1.02976119) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515023561859502 × 6371000     		du = 157.301452498362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02978587)-sin(1.02976119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515002406598459-0.515023561859502)×R²
    abs(-0.12703278--0.12708072)×2.11552610435151e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11552610435151e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11552610435151e-05×40589641000000     		ar = 24732.987250411m²