Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62883 / 39451
↖ ↑ ↗
← N 58.038643°
W  7.286682°		 ← 161.64 m → N 58.038643°
W  7.283936°		 →
↑
161.70 m
↓
↑
161.70 m
↓
N 58.037189°
W  7.286682°		 ← 161.65 m →
26 137 m²		 N 58.037189°
W  7.283936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479763031005859 y=0.300991058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479763031005859 × 217)
    floor (0.479763031005859 × 131072)
    floor (62883.5)     		tx = 62883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300991058349609 × 217)
    floor (0.300991058349609 × 131072)
    floor (39451.5)     		ty = 39451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62883 / 39451 ti = "17/62883/39451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62883/39451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62883 ÷ 217
    62883 ÷ 131072     		x = 0.479759216308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39451 ÷ 217
    39451 ÷ 131072     		y = 0.300987243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479759216308594 × 2 - 1) × π
    -0.0404815673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12717659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300987243652344 × 2 - 1) × π
    0.398025512695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.25043402658916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12717659} λ = -0.12717659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25043402658916))-π/2
    2×atan(3.49185818791205)-π/2
    2×1.29188086710103-π/2
    2.58376173420206-1.57079632675     		φ = 1.01296541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12717659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.286682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01296541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.038643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62883 KachelY 39451 -0.12717659 1.01296541 -7.286682 58.038643
    Oben rechts KachelX + 1 62884 KachelY 39451 -0.12712866 1.01296541 -7.283936 58.038643
    Unten links KachelX 62883 KachelY + 1 39452 -0.12717659 1.01294003 -7.286682 58.037189
    Unten rechts KachelX + 1 62884 KachelY + 1 39452 -0.12712866 1.01294003 -7.283936 58.037189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01296541-1.01294003) × R
    2.53800000000748e-05 × 6371000     		dl = 161.695980000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01296541-1.01294003) × R
    2.53800000000748e-05 × 6371000     		dr = 161.695980000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12717659--0.12712866) × cos(1.01296541) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.529347182935926 × 6371000     		do = 161.642530356101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12717659--0.12712866) × cos(1.01294003) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.529368715292052 × 6371000     		du = 161.649105520078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01296541)-sin(1.01294003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529347182935926-0.529368715292052)×R²
    abs(-0.12712866--0.12717659)×2.15323561262304e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15323561262304e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15323561262304e-05×40589641000000     		ar = 26137.4789458754m²