Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62882 / 39463
↖ ↑ ↗
← N 58.021192°
W  7.289429°		 ← 161.76 m → N 58.021192°
W  7.286682°		 →
↑
161.76 m
↓
↑
161.76 m
↓
N 58.019737°
W  7.289429°		 ← 161.76 m →
26 166 m²		 N 58.019737°
W  7.286682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479755401611328 y=0.301082611083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479755401611328 × 217)
    floor (0.479755401611328 × 131072)
    floor (62882.5)     		tx = 62882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301082611083984 × 217)
    floor (0.301082611083984 × 131072)
    floor (39463.5)     		ty = 39463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62882 / 39463 ti = "17/62882/39463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62882/39463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62882 ÷ 217
    62882 ÷ 131072     		x = 0.479751586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39463 ÷ 217
    39463 ÷ 131072     		y = 0.301078796386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479751586914062 × 2 - 1) × π
    -0.040496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12722453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301078796386719 × 2 - 1) × π
    0.397842407226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.24985878379372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12722453} λ = -0.12722453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24985878379372))-π/2
    2×atan(3.48985009927139)-π/2
    2×1.29172857836771-π/2
    2.58345715673543-1.57079632675     		φ = 1.01266083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12722453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.289429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01266083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.021192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62882 KachelY 39463 -0.12722453 1.01266083 -7.289429 58.021192
    Oben rechts KachelX + 1 62883 KachelY 39463 -0.12717659 1.01266083 -7.286682 58.021192
    Unten links KachelX 62882 KachelY + 1 39464 -0.12722453 1.01263544 -7.289429 58.019737
    Unten rechts KachelX + 1 62883 KachelY + 1 39464 -0.12717659 1.01263544 -7.286682 58.019737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01266083-1.01263544) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dl = 161.759690000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01266083-1.01263544) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dr = 161.759690000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12722453--0.12717659) × cos(1.01266083) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529605565665936 × 6371000     		do = 161.755171801625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12722453--0.12717659) × cos(1.01263544) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529627102411306 × 6371000     		du = 161.761749678016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01266083)-sin(1.01263544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529605565665936-0.529627102411306)×R²
    abs(-0.12717659--0.12722453)×2.15367453690885e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15367453690885e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15367453690885e-05×40589641000000     		ar = 26165.9984655567m²