Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62882 / 38729
↖ ↑ ↗
← N 59.073037°
W  7.289429°		 ← 156.97 m → N 59.073037°
W  7.286682°		 →
↑
156.98 m
↓
↑
156.98 m
↓
N 59.071625°
W  7.289429°		 ← 156.98 m →
24 642 m²		 N 59.071625°
W  7.286682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479755401611328 y=0.295482635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479755401611328 × 217)
    floor (0.479755401611328 × 131072)
    floor (62882.5)     		tx = 62882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295482635498047 × 217)
    floor (0.295482635498047 × 131072)
    floor (38729.5)     		ty = 38729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62882 / 38729 ti = "17/62882/38729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62882/38729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62882 ÷ 217
    62882 ÷ 131072     		x = 0.479751586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38729 ÷ 217
    38729 ÷ 131072     		y = 0.295478820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479751586914062 × 2 - 1) × π
    -0.040496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12722453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295478820800781 × 2 - 1) × π
    0.409042358398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.28504446811485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12722453} λ = -0.12722453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28504446811485))-π/2
    2×atan(3.6148286982612)-π/2
    2×1.30090765722513-π/2
    2.60181531445026-1.57079632675     		φ = 1.03101899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12722453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.289429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03101899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.073037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62882 KachelY 38729 -0.12722453 1.03101899 -7.289429 59.073037
    Oben rechts KachelX + 1 62883 KachelY 38729 -0.12717659 1.03101899 -7.286682 59.073037
    Unten links KachelX 62882 KachelY + 1 38730 -0.12722453 1.03099435 -7.289429 59.071625
    Unten rechts KachelX + 1 62883 KachelY + 1 38730 -0.12717659 1.03099435 -7.286682 59.071625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03101899-1.03099435) × R
    2.46399999999092e-05 × 6371000     		dl = 156.981439999421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03101899-1.03099435) × R
    2.46399999999092e-05 × 6371000     		dr = 156.981439999421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12722453--0.12717659) × cos(1.03101899) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.513944998745505 × 6371000     		do = 156.972031561133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12722453--0.12717659) × cos(1.03099435) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.513966135351638 × 6371000     		du = 156.978487224702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03101899)-sin(1.03099435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513944998745505-0.513966135351638)×R²
    abs(-0.12717659--0.12722453)×2.1136606133787e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1136606133787e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1136606133787e-05×40589641000000     		ar = 24642.2022651547m²