Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62876 / 38756
↖ ↑ ↗
← N 59.034902°
W  7.305908°		 ← 157.11 m → N 59.034902°
W  7.303162°		 →
↑
157.11 m
↓
↑
157.11 m
↓
N 59.033489°
W  7.305908°		 ← 157.12 m →
24 684 m²		 N 59.033489°
W  7.303162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479709625244141 y=0.295688629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479709625244141 × 217)
    floor (0.479709625244141 × 131072)
    floor (62876.5)     		tx = 62876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295688629150391 × 217)
    floor (0.295688629150391 × 131072)
    floor (38756.5)     		ty = 38756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62876 / 38756 ti = "17/62876/38756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62876/38756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62876 ÷ 217
    62876 ÷ 131072     		x = 0.479705810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38756 ÷ 217
    38756 ÷ 131072     		y = 0.295684814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479705810546875 × 2 - 1) × π
    -0.04058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12751215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295684814453125 × 2 - 1) × π
    0.40863037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2837501718251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12751215} λ = -0.12751215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2837501718251))-π/2
    2×atan(3.61015306536886)-π/2
    2×1.30057487398922-π/2
    2.60114974797845-1.57079632675     		φ = 1.03035342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12751215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.305908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03035342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.034902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62876 KachelY 38756 -0.12751215 1.03035342 -7.305908 59.034902
    Oben rechts KachelX + 1 62877 KachelY 38756 -0.12746422 1.03035342 -7.303162 59.034902
    Unten links KachelX 62876 KachelY + 1 38757 -0.12751215 1.03032876 -7.305908 59.033489
    Unten rechts KachelX + 1 62877 KachelY + 1 38757 -0.12746422 1.03032876 -7.303162 59.033489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03035342-1.03032876) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dl = 157.108860000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03035342-1.03032876) × R
    2.46600000000097e-05 × 6371000     		dr = 157.108860000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12751215--0.12746422) × cos(1.03035342) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.514515826215601 × 6371000     		do = 157.113597160328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12751215--0.12746422) × cos(1.03032876) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.514536971537729 × 6371000     		du = 157.120054138818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03035342)-sin(1.03032876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514515826215601-0.514536971537729)×R²
    abs(-0.12746422--0.12751215)×2.11453221280467e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11453221280467e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11453221280467e-05×40589641000000     		ar = 24684.4453657357m²