Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62875 / 76789
↖ ↑ ↗
← S 29.508940°
W  7.308655°		 ← 265.81 m → S 29.508940°
W  7.305908°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
S 29.511330°
W  7.308655°		 ← 265.80 m →
70 650 m²		 S 29.511330°
W  7.305908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479701995849609 y=0.585857391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479701995849609 × 217)
    floor (0.479701995849609 × 131072)
    floor (62875.5)     		tx = 62875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585857391357422 × 217)
    floor (0.585857391357422 × 131072)
    floor (76789.5)     		ty = 76789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62875 / 76789 ti = "17/62875/76789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62875/76789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62875 ÷ 217
    62875 ÷ 131072     		x = 0.479698181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76789 ÷ 217
    76789 ÷ 131072     		y = 0.585853576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479698181152344 × 2 - 1) × π
    -0.0406036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12756009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585853576660156 × 2 - 1) × π
    -0.171707153320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.539433931424492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12756009} λ = -0.12756009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539433931424492))-π/2
    2×atan(0.58307822123078)-π/2
    2×0.527884084583303-π/2
    1.05576816916661-1.57079632675     		φ = -0.51502816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12756009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.308655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51502816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.508940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62875 KachelY 76789 -0.12756009 -0.51502816 -7.308655 -29.508940
    Oben rechts KachelX + 1 62876 KachelY 76789 -0.12751215 -0.51502816 -7.305908 -29.508940
    Unten links KachelX 62875 KachelY + 1 76790 -0.12756009 -0.51506988 -7.308655 -29.511330
    Unten rechts KachelX + 1 62876 KachelY + 1 76790 -0.12751215 -0.51506988 -7.305908 -29.511330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51502816--0.51506988) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51502816--0.51506988) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12756009--0.12751215) × cos(-0.51502816) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870278852171654 × 6371000     		do = 265.805562430858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12756009--0.12751215) × cos(-0.51506988) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.87025830183793 × 6371000     		du = 265.799285829973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51502816)-sin(-0.51506988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870278852171654-0.87025830183793)×R²
    abs(-0.12751215--0.12756009)×2.05503337238344e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05503337238344e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05503337238344e-05×40589641000000     		ar = 70649.7846355849m²