Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62874 / 78907
↖ ↑ ↗
← S 34.440894°
W  7.311402°		 ← 251.89 m → S 34.440894°
W  7.308655°		 →
↑
251.85 m
↓
↑
251.85 m
↓
S 34.443158°
W  7.311402°		 ← 251.88 m →
63 436 m²		 S 34.443158°
W  7.308655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479694366455078 y=0.602016448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479694366455078 × 217)
    floor (0.479694366455078 × 131072)
    floor (62874.5)     		tx = 62874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602016448974609 × 217)
    floor (0.602016448974609 × 131072)
    floor (78907.5)     		ty = 78907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62874 / 78907 ti = "17/62874/78907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62874/78907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62874 ÷ 217
    62874 ÷ 131072     		x = 0.479690551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78907 ÷ 217
    78907 ÷ 131072     		y = 0.602012634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479690551757812 × 2 - 1) × π
    -0.040618896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12760803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602012634277344 × 2 - 1) × π
    -0.204025268554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.640964284819771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12760803} λ = -0.12760803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.640964284819771))-π/2
    2×atan(0.526784209034353)-π/2
    2×0.484844668330141-π/2
    0.969689336660281-1.57079632675     		φ = -0.60110699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12760803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.311402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60110699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.440894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62874 KachelY 78907 -0.12760803 -0.60110699 -7.311402 -34.440894
    Oben rechts KachelX + 1 62875 KachelY 78907 -0.12756009 -0.60110699 -7.308655 -34.440894
    Unten links KachelX 62874 KachelY + 1 78908 -0.12760803 -0.60114652 -7.311402 -34.443158
    Unten rechts KachelX + 1 62875 KachelY + 1 78908 -0.12756009 -0.60114652 -7.308655 -34.443158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60110699--0.60114652) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dl = 251.845630000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60110699--0.60114652) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dr = 251.845630000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12760803--0.12756009) × cos(-0.60110699) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.82471005577155 × 6371000     		do = 251.887679069594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12760803--0.12756009) × cos(-0.60114652) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.824687698707791 × 6371000     		du = 251.88085064685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60110699)-sin(-0.60114652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82471005577155-0.824687698707791)×R²
    abs(-0.12756009--0.12760803)×2.23570637596371e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23570637596371e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23570637596371e-05×40589641000000     		ar = 63435.9513786231m²