Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62873 / 78914
↖ ↑ ↗
← S 34.456748°
W  7.314148°		 ← 251.79 m → S 34.456748°
W  7.311402°		 →
↑
251.85 m
↓
↑
251.85 m
↓
S 34.459013°
W  7.314148°		 ← 251.78 m →
63 411 m²		 S 34.459013°
W  7.311402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479686737060547 y=0.602069854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479686737060547 × 217)
    floor (0.479686737060547 × 131072)
    floor (62873.5)     		tx = 62873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602069854736328 × 217)
    floor (0.602069854736328 × 131072)
    floor (78914.5)     		ty = 78914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62873 / 78914 ti = "17/62873/78914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62873/78914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62873 ÷ 217
    62873 ÷ 131072     		x = 0.479682922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78914 ÷ 217
    78914 ÷ 131072     		y = 0.602066040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479682922363281 × 2 - 1) × π
    -0.0406341552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12765596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602066040039062 × 2 - 1) × π
    -0.204132080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.641299843117111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12765596} λ = -0.12765596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641299843117111))-π/2
    2×atan(0.526607471876572)-π/2
    2×0.484706312309668-π/2
    0.969412624619336-1.57079632675     		φ = -0.60138370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12765596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.314148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60138370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.456748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62873 KachelY 78914 -0.12765596 -0.60138370 -7.314148 -34.456748
    Oben rechts KachelX + 1 62874 KachelY 78914 -0.12760803 -0.60138370 -7.311402 -34.456748
    Unten links KachelX 62873 KachelY + 1 78915 -0.12765596 -0.60142323 -7.314148 -34.459013
    Unten rechts KachelX + 1 62874 KachelY + 1 78915 -0.12760803 -0.60142323 -7.311402 -34.459013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60138370--0.60142323) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dl = 251.845630000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60138370--0.60142323) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dr = 251.845630000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12765596--0.12760803) × cos(-0.60138370) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.824553529264297 × 6371000     		do = 251.787339539818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12765596--0.12760803) × cos(-0.60142323) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.824531163180551 × 6371000     		du = 251.780509787083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60138370)-sin(-0.60142323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824553529264297-0.824531163180551)×R²
    abs(-0.12760803--0.12765596)×2.23660837455064e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23660837455064e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23660837455064e-05×40589641000000     		ar = 63410.6811389741m²