Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62873 / 26617
↖ ↑ ↗
← N 72.401520°
W  7.314148°		 ← 92.32 m → N 72.401520°
W  7.311402°		 →
↑
92.32 m
↓
↑
92.32 m
↓
N 72.400689°
W  7.314148°		 ← 92.33 m →
8 523 m²		 N 72.400689°
W  7.311402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479686737060547 y=0.203075408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479686737060547 × 217)
    floor (0.479686737060547 × 131072)
    floor (62873.5)     		tx = 62873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203075408935547 × 217)
    floor (0.203075408935547 × 131072)
    floor (26617.5)     		ty = 26617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62873 / 26617 ti = "17/62873/26617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62873/26617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62873 ÷ 217
    62873 ÷ 131072     		x = 0.479682922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26617 ÷ 217
    26617 ÷ 131072     		y = 0.203071594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479682922363281 × 2 - 1) × π
    -0.0406341552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12765596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203071594238281 × 2 - 1) × π
    0.593856811523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.86565619631297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12765596} λ = -0.12765596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86565619631297))-π/2
    2×atan(6.46017363756277)-π/2
    2×1.41722061306618-π/2
    2.83444122613236-1.57079632675     		φ = 1.26364490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12765596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.314148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26364490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.401520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62873 KachelY 26617 -0.12765596 1.26364490 -7.314148 72.401520
    Oben rechts KachelX + 1 62874 KachelY 26617 -0.12760803 1.26364490 -7.311402 72.401520
    Unten links KachelX 62873 KachelY + 1 26618 -0.12765596 1.26363041 -7.314148 72.400689
    Unten rechts KachelX + 1 62874 KachelY + 1 26618 -0.12760803 1.26363041 -7.311402 72.400689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26364490-1.26363041) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dl = 92.315790000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26364490-1.26363041) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dr = 92.315790000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12765596--0.12760803) × cos(1.26364490) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.30234461054433 × 6371000     		do = 92.3245640353791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12765596--0.12760803) × cos(1.26363041) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.302358422361561 × 6371000     		du = 92.3287816399267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26364490)-sin(1.26363041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30234461054433-0.302358422361561)×R²
    abs(-0.12760803--0.12765596)×1.38118172308688e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.38118172308688e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.38118172308688e-05×40589641000000     		ar = 8523.20974138128m²