Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62872 / 31631
↖ ↑ ↗
← N 67.727149°
W  7.316894°		 ← 115.76 m → N 67.727149°
W  7.314148°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
N 67.726108°
W  7.316894°		 ← 115.77 m →
13 401 m²		 N 67.726108°
W  7.314148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479679107666016 y=0.241329193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479679107666016 × 217)
    floor (0.479679107666016 × 131072)
    floor (62872.5)     		tx = 62872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241329193115234 × 217)
    floor (0.241329193115234 × 131072)
    floor (31631.5)     		ty = 31631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62872 / 31631 ti = "17/62872/31631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62872/31631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62872 ÷ 217
    62872 ÷ 131072     		x = 0.47967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31631 ÷ 217
    31631 ÷ 131072     		y = 0.241325378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.0406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12770390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241325378417969 × 2 - 1) × π
    0.517349243164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.625300581618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12770390} λ = -0.12770390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.625300581618))-π/2
    2×atan(5.07994574602999)-π/2
    2×1.37642903676053-π/2
    2.75285807352105-1.57079632675     		φ = 1.18206175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12770390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.316894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18206175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.727149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62872 KachelY 31631 -0.12770390 1.18206175 -7.316894 67.727149
    Oben rechts KachelX + 1 62873 KachelY 31631 -0.12765596 1.18206175 -7.314148 67.727149
    Unten links KachelX 62872 KachelY + 1 31632 -0.12770390 1.18204358 -7.316894 67.726108
    Unten rechts KachelX + 1 62873 KachelY + 1 31632 -0.12765596 1.18204358 -7.314148 67.726108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18206175-1.18204358) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dl = 115.761069999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18206175-1.18204358) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dr = 115.761069999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12770390--0.12765596) × cos(1.18206175) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.379017709651535 × 6371000     		do = 115.761764443416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12770390--0.12765596) × cos(1.18204358) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.379034523914701 × 6371000     		du = 115.766899952186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18206175)-sin(1.18204358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379017709651535-0.379034523914701)×R²
    abs(-0.12765596--0.12770390)×1.68142631660206e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.68142631660206e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.68142631660206e-05×40589641000000     		ar = 13401.002963546m²