Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6287 / 6333
↖ ↑ ↗
← S 69.611205°
E 96.284180°		 ← 1 702.40 m → S 69.611205°
E 96.328125°		 →
↑
1 701.82 m
↓
↑
1 701.82 m
↓
S 69.626510°
E 96.284180°		 ← 1 701.18 m →
2 896 139 m²		 S 69.626510°
E 96.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76751708984375 y=0.77313232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76751708984375 × 213)
    floor (0.76751708984375 × 8192)
    floor (6287.5)     		tx = 6287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77313232421875 × 213)
    floor (0.77313232421875 × 8192)
    floor (6333.5)     		ty = 6333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6287 / 6333 ti = "13/6287/6333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6287/6333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6287 ÷ 213
    6287 ÷ 8192     		x = 0.7674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6333 ÷ 213
    6333 ÷ 8192     		y = 0.7730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7674560546875 × 2 - 1) × π
    0.534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68047595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7730712890625 × 2 - 1) × π
    -0.546142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71575751120105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68047595} λ = 1.68047595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71575751120105))-π/2
    2×atan(0.179827447799535)-π/2
    2×0.177925796241477-π/2
    0.355851592482954-1.57079632675     		φ = -1.21494473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68047595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21494473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.611205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6287 KachelY 6333 1.68047595 -1.21494473 96.284180 -69.611205
    Oben rechts KachelX + 1 6288 KachelY 6333 1.68124294 -1.21494473 96.328125 -69.611205
    Unten links KachelX 6287 KachelY + 1 6334 1.68047595 -1.21521185 96.284180 -69.626510
    Unten rechts KachelX + 1 6288 KachelY + 1 6334 1.68124294 -1.21521185 96.328125 -69.626510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21494473--1.21521185) × R
    0.000267119999999954 × 6371000     		dl = 1701.82151999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21494473--1.21521185) × R
    0.000267119999999954 × 6371000     		dr = 1701.82151999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68047595-1.68124294) × cos(-1.21494473) × R
    0.000766990000000023 × 0.348388735844664 × 6371000     		do = 1702.39922001658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68047595-1.68124294) × cos(-1.21521185) × R
    0.000766990000000023 × 0.348138338448399 × 6371000     		du = 1701.1756548199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21494473)-sin(-1.21521185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348388735844664-0.348138338448399)×R²
    abs(1.68124294-1.68047595)×0.000250397396264646×R²
    0.000766990000000023×0.000250397396264646×6371000²
    0.000766990000000023×0.000250397396264646×40589641000000     		ar = 2896138.50068114m²