Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62869 / 76773
↖ ↑ ↗
← S 29.470688°
W  7.325134°		 ← 265.91 m → S 29.470688°
W  7.322387°		 →
↑
265.86 m
↓
↑
265.86 m
↓
S 29.473079°
W  7.325134°		 ← 265.90 m →
70 693 m²		 S 29.473079°
W  7.322387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479656219482422 y=0.585735321044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479656219482422 × 217)
    floor (0.479656219482422 × 131072)
    floor (62869.5)     		tx = 62869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585735321044922 × 217)
    floor (0.585735321044922 × 131072)
    floor (76773.5)     		ty = 76773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62869 / 76773 ti = "17/62869/76773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62869/76773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62869 ÷ 217
    62869 ÷ 131072     		x = 0.479652404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76773 ÷ 217
    76773 ÷ 131072     		y = 0.585731506347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479652404785156 × 2 - 1) × π
    -0.0406951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12784771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585731506347656 × 2 - 1) × π
    -0.171463012695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.538666941030571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12784771} λ = -0.12784771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538666941030571))-π/2
    2×atan(0.58352560817418)-π/2
    2×0.528217895369718-π/2
    1.05643579073944-1.57079632675     		φ = -0.51436054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12784771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.325134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51436054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.470688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62869 KachelY 76773 -0.12784771 -0.51436054 -7.325134 -29.470688
    Oben rechts KachelX + 1 62870 KachelY 76773 -0.12779977 -0.51436054 -7.322387 -29.470688
    Unten links KachelX 62869 KachelY + 1 76774 -0.12784771 -0.51440227 -7.325134 -29.473079
    Unten rechts KachelX + 1 62870 KachelY + 1 76774 -0.12779977 -0.51440227 -7.322387 -29.473079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51436054--0.51440227) × R
    4.17300000000731e-05 × 6371000     		dl = 265.861830000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51436054--0.51440227) × R
    4.17300000000731e-05 × 6371000     		dr = 265.861830000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12784771--0.12779977) × cos(-0.51436054) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870607500675868 × 6371000     		do = 265.905940143457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12784771--0.12779977) × cos(-0.51440227) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.87058696966626 × 6371000     		du = 265.899669444655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51436054)-sin(-0.51440227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870607500675868-0.87058696966626)×R²
    abs(-0.12779977--0.12784771)×2.05310096080824e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05310096080824e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05310096080824e-05×40589641000000     		ar = 70693.4062950911m²