Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62867 / 26611
↖ ↑ ↗
← N 72.406501°
W  7.330628°		 ← 92.32 m → N 72.406501°
W  7.327881°		 →
↑
92.32 m
↓
↑
92.32 m
↓
N 72.405671°
W  7.330628°		 ← 92.32 m →
8 523 m²		 N 72.405671°
W  7.327881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479640960693359 y=0.203029632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479640960693359 × 217)
    floor (0.479640960693359 × 131072)
    floor (62867.5)     		tx = 62867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203029632568359 × 217)
    floor (0.203029632568359 × 131072)
    floor (26611.5)     		ty = 26611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62867 / 26611 ti = "17/62867/26611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62867/26611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62867 ÷ 217
    62867 ÷ 131072     		x = 0.479637145996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26611 ÷ 217
    26611 ÷ 131072     		y = 0.203025817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479637145996094 × 2 - 1) × π
    -0.0407257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12794359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203025817871094 × 2 - 1) × π
    0.593948364257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.86594381771069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12794359} λ = -0.12794359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86594381771069))-π/2
    2×atan(6.46203198897192)-π/2
    2×1.4172640874962-π/2
    2.83452817499241-1.57079632675     		φ = 1.26373185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12794359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.330628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26373185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.406501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62867 KachelY 26611 -0.12794359 1.26373185 -7.330628 72.406501
    Oben rechts KachelX + 1 62868 KachelY 26611 -0.12789565 1.26373185 -7.327881 72.406501
    Unten links KachelX 62867 KachelY + 1 26612 -0.12794359 1.26371736 -7.330628 72.405671
    Unten rechts KachelX + 1 62868 KachelY + 1 26612 -0.12789565 1.26371736 -7.327881 72.405671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26373185-1.26371736) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dl = 92.315790000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26373185-1.26371736) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dr = 92.315790000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12794359--0.12789565) × cos(1.26373185) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.302261728775711 × 6371000     		do = 92.3185121849937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12794359--0.12789565) × cos(1.26371736) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.302275540973824 × 6371000     		du = 92.3227307858233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26373185)-sin(1.26371736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302261728775711-0.302275540973824)×R²
    abs(-0.12789565--0.12794359)×1.38121981129724e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.38121981129724e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.38121981129724e-05×40589641000000     		ar = 8522.65110592857m²