Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62866 / 26609
↖ ↑ ↗
← N 72.408162°
W  7.333374°		 ← 92.29 m → N 72.408162°
W  7.330628°		 →
↑
92.32 m
↓
↑
92.32 m
↓
N 72.407332°
W  7.333374°		 ← 92.30 m →
8 520 m²		 N 72.407332°
W  7.330628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479633331298828 y=0.203014373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479633331298828 × 217)
    floor (0.479633331298828 × 131072)
    floor (62866.5)     		tx = 62866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203014373779297 × 217)
    floor (0.203014373779297 × 131072)
    floor (26609.5)     		ty = 26609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62866 / 26609 ti = "17/62866/26609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62866/26609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62866 ÷ 217
    62866 ÷ 131072     		x = 0.479629516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26609 ÷ 217
    26609 ÷ 131072     		y = 0.203010559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479629516601562 × 2 - 1) × π
    -0.040740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12799152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203010559082031 × 2 - 1) × π
    0.593978881835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.86603969150993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12799152} λ = -0.12799152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86603969150993))-π/2
    2×atan(6.46265155822927)-π/2
    2×1.41727857632436-π/2
    2.83455715264872-1.57079632675     		φ = 1.26376083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12799152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.333374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26376083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.408162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62866 KachelY 26609 -0.12799152 1.26376083 -7.333374 72.408162
    Oben rechts KachelX + 1 62867 KachelY 26609 -0.12794359 1.26376083 -7.330628 72.408162
    Unten links KachelX 62866 KachelY + 1 26610 -0.12799152 1.26374634 -7.333374 72.407332
    Unten rechts KachelX + 1 62867 KachelY + 1 26610 -0.12794359 1.26374634 -7.330628 72.407332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26376083-1.26374634) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dl = 92.315790000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26376083-1.26374634) × R
    1.44900000000892e-05 × 6371000     		dr = 92.315790000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12799152--0.12794359) × cos(1.26376083) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.302234104189099 × 6371000     		do = 92.2908195904179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12799152--0.12794359) × cos(1.26374634) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.302247916514135 × 6371000     		du = 92.2950373500298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26376083)-sin(1.26374634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302234104189099-0.302247916514135)×R²
    abs(-0.12794359--0.12799152)×1.3812325035889e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.3812325035889e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.3812325035889e-05×40589641000000     		ar = 8520.0946033061m²