Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62864 / 39472
↖ ↑ ↗
← N 58.008098°
W  7.338867°		 ← 161.81 m → N 58.008098°
W  7.336121°		 →
↑
161.82 m
↓
↑
161.82 m
↓
N 58.006643°
W  7.338867°		 ← 161.82 m →
26 186 m²		 N 58.006643°
W  7.336121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479618072509766 y=0.301151275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479618072509766 × 217)
    floor (0.479618072509766 × 131072)
    floor (62864.5)     		tx = 62864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301151275634766 × 217)
    floor (0.301151275634766 × 131072)
    floor (39472.5)     		ty = 39472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62864 / 39472 ti = "17/62864/39472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62864/39472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62864 ÷ 217
    62864 ÷ 131072     		x = 0.4796142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39472 ÷ 217
    39472 ÷ 131072     		y = 0.3011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12808740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3011474609375 × 2 - 1) × π
    0.397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24942735169714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12808740} λ = -0.12808740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24942735169714))-π/2
    2×atan(3.48834479066888)-π/2
    2×1.29161431304194-π/2
    2.58322862608389-1.57079632675     		φ = 1.01243230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12808740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01243230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.008098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62864 KachelY 39472 -0.12808740 1.01243230 -7.338867 58.008098
    Oben rechts KachelX + 1 62865 KachelY 39472 -0.12803946 1.01243230 -7.336121 58.008098
    Unten links KachelX 62864 KachelY + 1 39473 -0.12808740 1.01240690 -7.338867 58.006643
    Unten rechts KachelX + 1 62865 KachelY + 1 39473 -0.12803946 1.01240690 -7.336121 58.006643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01243230-1.01240690) × R
    2.53999999999532e-05 × 6371000     		dl = 161.823399999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01243230-1.01240690) × R
    2.53999999999532e-05 × 6371000     		dr = 161.823399999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12808740--0.12803946) × cos(1.01243230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529799401044244 × 6371000     		do = 161.814374115483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12808740--0.12803946) × cos(1.01240690) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529820943197113 × 6371000     		du = 161.820953643464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01243230)-sin(1.01240690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529799401044244-0.529820943197113)×R²
    abs(-0.12803946--0.12808740)×2.15421528685367e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15421528685367e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15421528685367e-05×40589641000000     		ar = 26185.8845503338m²