Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62862 / 30326
↖ ↑ ↗
← N 69.046966°
W  7.344360°		 ← 109.22 m → N 69.046966°
W  7.341614°		 →
↑
109.20 m
↓
↑
109.20 m
↓
N 69.045984°
W  7.344360°		 ← 109.23 m →
11 927 m²		 N 69.045984°
W  7.341614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479602813720703 y=0.231372833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479602813720703 × 217)
    floor (0.479602813720703 × 131072)
    floor (62862.5)     		tx = 62862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231372833251953 × 217)
    floor (0.231372833251953 × 131072)
    floor (30326.5)     		ty = 30326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62862 / 30326 ti = "17/62862/30326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62862/30326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62862 ÷ 217
    62862 ÷ 131072     		x = 0.479598999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30326 ÷ 217
    30326 ÷ 131072     		y = 0.231369018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479598999023438 × 2 - 1) × π
    -0.040802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12818327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231369018554688 × 2 - 1) × π
    0.537261962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68785823562218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12818327} λ = -0.12818327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68785823562218))-π/2
    2×atan(5.40788587553942)-π/2
    2×1.38794660889501-π/2
    2.77589321779002-1.57079632675     		φ = 1.20509689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12818327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.344360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20509689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.046966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62862 KachelY 30326 -0.12818327 1.20509689 -7.344360 69.046966
    Oben rechts KachelX + 1 62863 KachelY 30326 -0.12813533 1.20509689 -7.341614 69.046966
    Unten links KachelX 62862 KachelY + 1 30327 -0.12818327 1.20507975 -7.344360 69.045984
    Unten rechts KachelX + 1 62863 KachelY + 1 30327 -0.12813533 1.20507975 -7.341614 69.045984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20509689-1.20507975) × R
    1.71400000001931e-05 × 6371000     		dl = 109.19894000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20509689-1.20507975) × R
    1.71400000001931e-05 × 6371000     		dr = 109.19894000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12818327--0.12813533) × cos(1.20509689) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.35760256764128 × 6371000     		do = 109.22102884773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12818327--0.12813533) × cos(1.20507975) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.35761857418687 × 6371000     		du = 109.225917658761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20509689)-sin(1.20507975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35760256764128-0.35761857418687)×R²
    abs(-0.12813533--0.12818327)×1.60065455896974e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.60065455896974e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.60065455896974e-05×40589641000000     		ar = 11927.0875026933m²