Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62861 / 31517
↖ ↑ ↗
← N 67.845524°
W  7.347107°		 ← 115.18 m → N 67.845524°
W  7.344360°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
N 67.844488°
W  7.347107°		 ← 115.18 m →
13 267 m²		 N 67.844488°
W  7.344360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479595184326172 y=0.240459442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479595184326172 × 217)
    floor (0.479595184326172 × 131072)
    floor (62861.5)     		tx = 62861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240459442138672 × 217)
    floor (0.240459442138672 × 131072)
    floor (31517.5)     		ty = 31517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62861 / 31517 ti = "17/62861/31517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62861/31517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62861 ÷ 217
    62861 ÷ 131072     		x = 0.479591369628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31517 ÷ 217
    31517 ÷ 131072     		y = 0.240455627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479591369628906 × 2 - 1) × π
    -0.0408172607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12823121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240455627441406 × 2 - 1) × π
    0.519088745117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.63076538817469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12823121} λ = -0.12823121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63076538817469))-π/2
    2×atan(5.10778265924642)-π/2
    2×1.37746205104707-π/2
    2.75492410209413-1.57079632675     		φ = 1.18412778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12823121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.347107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18412778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.845524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62861 KachelY 31517 -0.12823121 1.18412778 -7.347107 67.845524
    Oben rechts KachelX + 1 62862 KachelY 31517 -0.12818327 1.18412778 -7.344360 67.845524
    Unten links KachelX 62861 KachelY + 1 31518 -0.12823121 1.18410970 -7.347107 67.844488
    Unten rechts KachelX + 1 62862 KachelY + 1 31518 -0.12818327 1.18410970 -7.344360 67.844488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18412778-1.18410970) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18412778-1.18410970) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12823121--0.12818327) × cos(1.18412778) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.377105019797021 × 6371000     		do = 115.177579729278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12823121--0.12818327) × cos(1.18410970) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.377121764898113 × 6371000     		du = 115.18269411417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18412778)-sin(1.18410970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377105019797021-0.377121764898113)×R²
    abs(-0.12818327--0.12823121)×1.67451010914532e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.67451010914532e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.67451010914532e-05×40589641000000     		ar = 13267.3327544358m²