Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6286 / 6335
↖ ↑ ↗
← S 69.641804°
E 96.240234°		 ← 1 699.95 m → S 69.641804°
E 96.284180°		 →
↑
1 699.34 m
↓
↑
1 699.34 m
↓
S 69.657086°
E 96.240234°		 ← 1 698.73 m →
2 887 754 m²		 S 69.657086°
E 96.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76739501953125 y=0.77337646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76739501953125 × 213)
    floor (0.76739501953125 × 8192)
    floor (6286.5)     		tx = 6286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77337646484375 × 213)
    floor (0.77337646484375 × 8192)
    floor (6335.5)     		ty = 6335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6286 / 6335 ti = "13/6286/6335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6286/6335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6286 ÷ 213
    6286 ÷ 8192     		x = 0.767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6335 ÷ 213
    6335 ÷ 8192     		y = 0.7733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767333984375 × 2 - 1) × π
    0.53466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67970896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.546630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71729149198889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67970896} λ = 1.67970896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71729149198889))-π/2
    2×atan(0.17955180741706)-π/2
    2×0.177658777459642-π/2
    0.355317554919284-1.57079632675     		φ = -1.21547877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67970896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21547877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.641804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6286 KachelY 6335 1.67970896 -1.21547877 96.240234 -69.641804
    Oben rechts KachelX + 1 6287 KachelY 6335 1.68047595 -1.21547877 96.284180 -69.641804
    Unten links KachelX 6286 KachelY + 1 6336 1.67970896 -1.21574550 96.240234 -69.657086
    Unten rechts KachelX + 1 6287 KachelY + 1 6336 1.68047595 -1.21574550 96.284180 -69.657086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21547877--1.21574550) × R
    0.000266729999999882 × 6371000     		dl = 1699.33682999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21547877--1.21574550) × R
    0.000266729999999882 × 6371000     		dr = 1699.33682999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67970896-1.68047595) × cos(-1.21547877) × R
    0.000766990000000023 × 0.347888103718606 × 6371000     		do = 1699.95288449185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67970896-1.68047595) × cos(-1.21574550) × R
    0.000766990000000023 × 0.347638022352561 × 6371000     		du = 1698.73086357471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21547877)-sin(-1.21574550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347888103718606-0.347638022352561)×R²
    abs(1.68047595-1.67970896)×0.000250081366045929×R²
    0.000766990000000023×0.000250081366045929×6371000²
    0.000766990000000023×0.000250081366045929×40589641000000     		ar = 2887754.25042533m²