Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62859 / 38805
↖ ↑ ↗
← N 58.965588°
W  7.352600°		 ← 157.46 m → N 58.965588°
W  7.349853°		 →
↑
157.43 m
↓
↑
157.43 m
↓
N 58.964172°
W  7.352600°		 ← 157.47 m →
24 790 m²		 N 58.964172°
W  7.349853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479579925537109 y=0.296062469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479579925537109 × 217)
    floor (0.479579925537109 × 131072)
    floor (62859.5)     		tx = 62859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296062469482422 × 217)
    floor (0.296062469482422 × 131072)
    floor (38805.5)     		ty = 38805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62859 / 38805 ti = "17/62859/38805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62859/38805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62859 ÷ 217
    62859 ÷ 131072     		x = 0.479576110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38805 ÷ 217
    38805 ÷ 131072     		y = 0.296058654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479576110839844 × 2 - 1) × π
    -0.0408477783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12832708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296058654785156 × 2 - 1) × π
    0.407882690429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.28140126374372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12832708} λ = -0.12832708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28140126374372))-π/2
    2×atan(3.60168309913897)-π/2
    2×1.29996998998946-π/2
    2.59993997997891-1.57079632675     		φ = 1.02914365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12832708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.352600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02914365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.965588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62859 KachelY 38805 -0.12832708 1.02914365 -7.352600 58.965588
    Oben rechts KachelX + 1 62860 KachelY 38805 -0.12827914 1.02914365 -7.349853 58.965588
    Unten links KachelX 62859 KachelY + 1 38806 -0.12832708 1.02911894 -7.352600 58.964172
    Unten rechts KachelX + 1 62860 KachelY + 1 38806 -0.12827914 1.02911894 -7.349853 58.964172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02914365-1.02911894) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dl = 157.42740999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02914365-1.02911894) × R
    2.47099999999278e-05 × 6371000     		dr = 157.42740999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12832708--0.12827914) × cos(1.02914365) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515552804102207 × 6371000     		do = 157.46309670198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12832708--0.12827914) × cos(1.02911894) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515573976901291 × 6371000     		du = 157.469563419808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02914365)-sin(1.02911894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515552804102207-0.515573976901291)×R²
    abs(-0.12827914--0.12832708)×2.11727990833133e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11727990833133e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11727990833133e-05×40589641000000     		ar = 24789.5165049155m²