Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62858 / 38790
↖ ↑ ↗
← N 58.986821°
W  7.355347°		 ← 157.37 m → N 58.986821°
W  7.352600°		 →
↑
157.36 m
↓
↑
157.36 m
↓
N 58.985406°
W  7.355347°		 ← 157.37 m →
24 764 m²		 N 58.985406°
W  7.352600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479572296142578 y=0.295948028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479572296142578 × 217)
    floor (0.479572296142578 × 131072)
    floor (62858.5)     		tx = 62858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295948028564453 × 217)
    floor (0.295948028564453 × 131072)
    floor (38790.5)     		ty = 38790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62858 / 38790 ti = "17/62858/38790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62858/38790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62858 ÷ 217
    62858 ÷ 131072     		x = 0.479568481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38790 ÷ 217
    38790 ÷ 131072     		y = 0.295944213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479568481445312 × 2 - 1) × π
    -0.040863037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12837502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295944213867188 × 2 - 1) × π
    0.408111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28212031723802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12837502} λ = -0.12837502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28212031723802))-π/2
    2×atan(3.60427383328337)-π/2
    2×1.30015528791752-π/2
    2.60031057583505-1.57079632675     		φ = 1.02951425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12837502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.355347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02951425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.986821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62858 KachelY 38790 -0.12837502 1.02951425 -7.355347 58.986821
    Oben rechts KachelX + 1 62859 KachelY 38790 -0.12832708 1.02951425 -7.352600 58.986821
    Unten links KachelX 62858 KachelY + 1 38791 -0.12837502 1.02948955 -7.355347 58.985406
    Unten rechts KachelX + 1 62859 KachelY + 1 38791 -0.12832708 1.02948955 -7.352600 58.985406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02951425-1.02948955) × R
    2.46999999999886e-05 × 6371000     		dl = 157.363699999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02951425-1.02948955) × R
    2.46999999999886e-05 × 6371000     		dr = 157.363699999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12837502--0.12832708) × cos(1.02951425) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515235217201037 × 6371000     		do = 157.366097487675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12837502--0.12832708) × cos(1.02948955) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.51525638614959 × 6371000     		du = 157.372563029452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02951425)-sin(1.02948955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515235217201037-0.51525638614959)×R²
    abs(-0.12832708--0.12837502)×2.11689485535294e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11689485535294e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11689485535294e-05×40589641000000     		ar = 24764.2200772625m²