Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62857 / 38792
↖ ↑ ↗
← N 58.983991°
W  7.358093°		 ← 157.35 m → N 58.983991°
W  7.355347°		 →
↑
157.36 m
↓
↑
157.36 m
↓
N 58.982576°
W  7.358093°		 ← 157.35 m →
24 761 m²		 N 58.982576°
W  7.355347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479564666748047 y=0.295963287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479564666748047 × 217)
    floor (0.479564666748047 × 131072)
    floor (62857.5)     		tx = 62857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295963287353516 × 217)
    floor (0.295963287353516 × 131072)
    floor (38792.5)     		ty = 38792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62857 / 38792 ti = "17/62857/38792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62857/38792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62857 ÷ 217
    62857 ÷ 131072     		x = 0.479560852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38792 ÷ 217
    38792 ÷ 131072     		y = 0.29595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479560852050781 × 2 - 1) × π
    -0.0408782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12842295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29595947265625 × 2 - 1) × π
    0.4080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28202444343878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12842295} λ = -0.12842295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28202444343878))-π/2
    2×atan(3.6039282944218)-π/2
    2×1.30013058812385-π/2
    2.60026117624769-1.57079632675     		φ = 1.02946485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12842295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.358093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02946485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.983991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62857 KachelY 38792 -0.12842295 1.02946485 -7.358093 58.983991
    Oben rechts KachelX + 1 62858 KachelY 38792 -0.12837502 1.02946485 -7.355347 58.983991
    Unten links KachelX 62857 KachelY + 1 38793 -0.12842295 1.02944015 -7.358093 58.982576
    Unten rechts KachelX + 1 62858 KachelY + 1 38793 -0.12837502 1.02944015 -7.355347 58.982576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02946485-1.02944015) × R
    2.46999999999886e-05 × 6371000     		dl = 157.363699999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02946485-1.02944015) × R
    2.46999999999886e-05 × 6371000     		dr = 157.363699999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12842295--0.12837502) × cos(1.02946485) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.515277554783791 × 6371000     		do = 157.34620014222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12842295--0.12837502) × cos(1.02944015) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.515298723103626 × 6371000     		du = 157.352664143336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02946485)-sin(1.02944015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515277554783791-0.515298723103626)×R²
    abs(-0.12837502--0.12842295)×2.11683198351187e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11683198351187e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11683198351187e-05×40589641000000     		ar = 24761.0888363023m²