Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62856 / 27274
↖ ↑ ↗
← N 71.847674°
W  7.360840°		 ← 95.15 m → N 71.847674°
W  7.358093°		 →
↑
95.12 m
↓
↑
95.12 m
↓
N 71.846819°
W  7.360840°		 ← 95.16 m →
9 051 m²		 N 71.846819°
W  7.358093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479557037353516 y=0.208087921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479557037353516 × 217)
    floor (0.479557037353516 × 131072)
    floor (62856.5)     		tx = 62856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208087921142578 × 217)
    floor (0.208087921142578 × 131072)
    floor (27274.5)     		ty = 27274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62856 / 27274 ti = "17/62856/27274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62856/27274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62856 ÷ 217
    62856 ÷ 131072     		x = 0.47955322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27274 ÷ 217
    27274 ÷ 131072     		y = 0.208084106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47955322265625 × 2 - 1) × π
    -0.0408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12847089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208084106445312 × 2 - 1) × π
    0.583831787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83416165326259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12847089} λ = -0.12847089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83416165326259))-π/2
    2×atan(6.25988399169757)-π/2
    2×1.41238739906589-π/2
    2.82477479813178-1.57079632675     		φ = 1.25397847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12847089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.360840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25397847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.847674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62856 KachelY 27274 -0.12847089 1.25397847 -7.360840 71.847674
    Oben rechts KachelX + 1 62857 KachelY 27274 -0.12842295 1.25397847 -7.358093 71.847674
    Unten links KachelX 62856 KachelY + 1 27275 -0.12847089 1.25396354 -7.360840 71.846819
    Unten rechts KachelX + 1 62857 KachelY + 1 27275 -0.12842295 1.25396354 -7.358093 71.846819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25397847-1.25396354) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dl = 95.1190300005071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25397847-1.25396354) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dr = 95.1190300005071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12847089--0.12842295) × cos(1.25397847) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.311544370023493 × 6371000     		do = 95.1536697572518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12847089--0.12842295) × cos(1.25396354) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.311558556946651 × 6371000     		du = 95.1580028087557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25397847)-sin(1.25396354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311544370023493-0.311558556946651)×R²
    abs(-0.12842295--0.12847089)×1.41869231584102e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41869231584102e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41869231584102e-05×40589641000000     		ar = 9051.13084628056m²