Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62852 / 38781
↖ ↑ ↗
← N 58.999555°
W  7.371826°		 ← 157.31 m → N 58.999555°
W  7.369079°		 →
↑
157.30 m
↓
↑
157.30 m
↓
N 58.998141°
W  7.371826°		 ← 157.31 m →
24 745 m²		 N 58.998141°
W  7.369079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479526519775391 y=0.295879364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479526519775391 × 217)
    floor (0.479526519775391 × 131072)
    floor (62852.5)     		tx = 62852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295879364013672 × 217)
    floor (0.295879364013672 × 131072)
    floor (38781.5)     		ty = 38781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62852 / 38781 ti = "17/62852/38781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62852/38781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62852 ÷ 217
    62852 ÷ 131072     		x = 0.479522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38781 ÷ 217
    38781 ÷ 131072     		y = 0.295875549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.04095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12866264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295875549316406 × 2 - 1) × π
    0.408248901367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.2825517493346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12866264} λ = -0.12866264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2825517493346))-π/2
    2×atan(3.60582916818649)-π/2
    2×1.30026641187601-π/2
    2.60053282375201-1.57079632675     		φ = 1.02973650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12866264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.371826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02973650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.999555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62852 KachelY 38781 -0.12866264 1.02973650 -7.371826 58.999555
    Oben rechts KachelX + 1 62853 KachelY 38781 -0.12861470 1.02973650 -7.369079 58.999555
    Unten links KachelX 62852 KachelY + 1 38782 -0.12866264 1.02971181 -7.371826 58.998141
    Unten rechts KachelX + 1 62853 KachelY + 1 38782 -0.12861470 1.02971181 -7.369079 58.998141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02973650-1.02971181) × R
    2.46900000000494e-05 × 6371000     		dl = 157.299990000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02973650-1.02971181) × R
    2.46900000000494e-05 × 6371000     		dr = 157.299990000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12866264--0.12861470) × cos(1.02973650) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515044725378477 × 6371000     		do = 157.307916381806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12866264--0.12861470) × cos(1.02971181) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.515065888583482 × 6371000     		du = 157.314380169356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02973650)-sin(1.02971181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515044725378477-0.515065888583482)×R²
    abs(-0.12861470--0.12866264)×2.11632050053367e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11632050053367e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11632050053367e-05×40589641000000     		ar = 24745.042051975m²